高考数学必做解答题——数列

吴文尧

1 等差、等比数列的综合，数列求和

（ ）必做1 已知等差数列{an}的首项a1=2，a7=4a3，前n项和为Sn.

（1）求an及Sn.

（2）设bn= ，n∈N 鄢，求bn的最大值.

破解思路 对于第（1）问，等差数列问题通常以首项a1和公差d为基本量，由于已知a1的值，故只需把条件a7=4a3翻译成关于d的方程，从而得到d的值；再利用等差数列的基本公式（通项公式及前n项和公式）求解即可. 对于第（2）问，由于an及Sn均可以表示为关于n的函数，所以bn必可以表示成关于n的函数，然后再设法求出这个函数的最大值.

精妙解法 （1）设公差为d，由题意知a1+6d=4（a1+2d），由a1=2，解得d= -3. 所以an=-3n+5，Sn= （n∈N 鄢）.

（2）由（1）得bn= = - n+ ，

由基本不等式得n+ ≥2 =8，所以bn= - n+ ≤ -12= . 又当n=4时，bn= ，从而bn的最大值为 .

（ ）必做2 已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2，a1=1.

（1）设bn=a -2an，求证：数列{bn}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.

破解思路 对于第（1）问，注意到试题给出的条件是关于S 和an之间的关系式，所以通常先把它化成关于数列{an}的递推关系式，再化归为关于数列{bn}的递推关系式后，自然就瓜熟蒂落了. 第（2）问是求递推数列的通项公式问题，通常的对策是化归为等差或等比数列问题.

精妙解法 （1）因为S =4an+2 ①，所以S =4a +2 ②，由②式减①式得an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1-4an，即an+2-2an+1=2（an+1-2an）. 由于bn=an+1-2an，所以bn+1=2bn，由a1+a2=S2=4a1+2及a1=1可得a2=5，b1=a2-2a1=3. 所以数列{bn}是首项为3、公比为2的等比数列.

（2）由（1）可知，bn=3·2n-1， 即an+1-2an=3·2n-1，所以 - = ，故数列 是公差为 、首项为 的等差数列，所以 = （n-1）+ = （3n-1），即an=（3n-1）2n-2.

当n≥2时，Sn=4an-1+2=4（3n-4）2n-3+2=（3n-4）2n-1+2；

当n=1时，S1=a1=1，上式也成立.

所以 坌n∈N 鄢，Sn=（3n-4）2n-1+2.

极速突击 本题本质上就是一个递推数列的通项公式问题，事实上，第（1）问是给出一个解决问题的“台阶”，所以在解决有两个或两个以上小题的解答题时，特别要注意前后小题之间的联系，顺着命题者给出的“台阶”走，一般能到达“理想的彼岸”！若不注意前后问题的联系，在得到通项公式an=（3n-1）2n-2后，发现数列{an}恰为一个等差数列和一个等比数列对应项的积，一般会用“错位相减”的方法求解，如果这样做，就把简单问题复杂化了.

（ ）必做3 在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73.

（1）求数列{an}的通项公式.

（2）设数列{xn}满足xn=an·3n-1，求数列{xn}的前n项和Tn.

（3）对任意m∈N 鄢，将数列{an}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm. 设cn= ，记数列{cn}的前n项和为Un，求证：Un< 恒成立.

破解思路 第（1）问是等差数列的基本运算问题，其结论是解决后面问题的基础，特别注意运算的准确性即可. 第（2）问的题型模式很明显，{xn}是一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列，显然可用“错位相减”的方法解决. 第（3）问，首先要设法求出数列{bm}的通项公式，进而根据通项特点考虑求其前m项和Sm的解题对策，进而得到数列{cn}的通项公式，若再根据其通项特点，求出其前n项和Un，则水到渠成了.

精妙解法 （1）设等差数列{an}的公差为d，由a3+a4+a5=84可得a4=28，5d=a9-a4=45，d=9，所以an=a4+（n-4）d=9n-8.

（2）由题意可知，Tn=1×30+10×31+19×32+…+（9n-8）3n-1 ①，

3Tn=1×31+10×32+…+（9n-17）3n-1+（9n-8）3n ②.

由①式减②式得-2Tn=1+9（31+32+…+3n-1）-（9n-8）3n，

即-2Tn=1-（9n-8）3n+ ，所以Tn= n- 3n+ .

（3）9m

所以bm=92m-1-9m-1，Sm= bi= （92i-1-9i-1）= - = （9m+1-1）（9m-1）.

故cn= = =10 - ，

所以Un= ci= 10 - =10 - = - < ，即Un< 成立.

极速突击 众所周知，在应试中，最理想的做法是在解题前就能设计好一个完整的解题计划，但有时“理想很丰满，现实很骨感”，对于本题来说，要在下手前就有完整的计划很不现实，所以只能选择分层推进的办法解决. 本题的主题是数列求和，即如何由数列的通项公式，得到数列的前n项和；数列求和的常用方法有：公式法、错位相减法、裂项消去法、重新组合法等；能根据通项公式的特点，选择合适的方法显得非常重要.

金刊提醒

等差数列、等比数列是两类最重要的数列基本模型，纵观近几年的各地高考数列问题，不外乎以下两类：其一是直接考查等差、等比数列的基本知识；其二是考查由这两类数列中所提炼出来的数学思想方法，如源于等差数列的求和消去法、源于等比数列的求积消去法等.对于数列求和问题，要过好以下两关：第一关，掌握基本方法关，即掌握数列求和的几种常用方法及解题步骤；第二关，选择方法操作关，即能根据具体数列，选择合适的方法解决之.

2 数列与不等式

（ ）必做1 在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列.

（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

（2）证明： + +…+ < .

破解思路 （1）由试题类型及设问方式可联想到应采用“试一试、猜一猜、证一证”的解题对策.

（2）求出数列的通项公式后，设法求出数列 的前n项和，然后再做适当的放大即可，若不易求出其前n项和，则可先做合理的放大，再求其和.

精妙解法 （1）由已知可得a1=2，b1=4及an+1=2bn-an，bn+1= 故a2=6=2×3，b2=9=32， a3=12=3×4，b3=16=42，a4=20=4×5，b4=25=52，可以猜想：an=n（n+1），bn=（n+1）2.用数学归纳法证明如下：

（i）当n=1时，结论显然成立.

（ii）设当n=k时结论仍然成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1）2 成立，

所以ak+1=2bk-ak=2（k+1）2-k（k+1）=（k+1）[2（k+1）-k]=（k+1）（k+2），

bk+1= = =（k+2）2，所以当n=k+1时结论成立.

由（i）（ii）可知 坌n∈N 鄢时，结论成立. 所以an=n（n+1），bn=（n+1）2.

（2）由（1）知ak+bk=（k+1）（2k+1）>2（k+1）k（k=1，2，3，…，n），

= < + = + - = + - = - < ，所以原不等式成立. 摇

极速突击 放缩法是解决数列求和型不等式问题的最常用的方法，在具体操作中一般有以下两种方式：其一是先求和后放缩，这种方式适用于能求出其数列和的问题（如前面必做题3的最后一问）；其二是先放缩再求和，这种方式适用于不易求出其数列和的问题，如本题中，注意到数列 的前n项的和不容易求得，所以可对其通项做适当的放大，即对ak+bk做适当的缩小，得到容易求出其和的新数列. 放缩时还需要注意把握好放缩的度，本题若从第一项开始放大，则会放得过大，所以从第二项开始放大，通常情况下，放大（或缩小）的幅度往往是逐步变小的，从第几项开始放大（或缩小）要视不等式的要求而定，如本题改为证明不等式 < ，则须从第3项开始放大.

（ ）必做2 设数列{an}满足a1=0，an+1=ma +1-m，m∈N 鄢，其中m为实数.

（1）当0

（2）当0

①an>1-（3m）n-1；

②a +a +…+a >n+1- .

破解思路 第（1）问是一个有关自然数的命题，最常规的方法是用数学归纳法证明之.

对于第（2）问的第①题，注意到a1=0，只需证明1-an<（1-a1）（3m）n-1，所以可对数列{1-an}的通项进行合理的放缩，且其放缩的目标是公比为3m的等比数列，即1-ak+1≤3m（1-ak）；第②题的放缩目标显然是要有利于求出其和，还需注意充分利用前面小题的结论.

精妙解法 （1）用数学归纳法证明如下：

（i）n=2时，因为a1=0，a2=ma +1-m=1-m，0

（ii）设n=k（k≥2）时，结论仍然成立，即0

00，g（1）=1.

又因为ak+1=g（ak）=ma +1-m，所以0

由（i）（ii）可知， 坌n∈N 鄢（n≥2）有0

（2）①当0

由（1）可知，k≥2时，0

所以1-ak+1=m（1-ak）（1+ak+a ）<（3m）（1-ak），

所以1-an<3m（1-an-1）<（3m）2（1-an-2）<…<（3m）n-1（1-a1）=（3m）n-1，即an≥1-（3m）n-1（n∈N 鄢）.

②由①可知，k≥2时，ak≥1-（3m）k-1>0，

所以a ≥[1-（3m）k-1]2=1-2（3m）k-1+（3m）2（k-1）>1-2（3m）k-1，

所以a +a +…+a =a +…+a >n-1-2[3m+（3m）2+…+（3m）n-1]=n+1- >n+1- .

极速突击 在用放缩法证明数列不等式时，明确放缩的目标也很重要，若要证明的目标不等式是和的形式，则放缩的目标要有利于求其和；若要证明的目标不等式是积的形式，则放缩的目标要有利于求其积. 不管什么时候，若能把相关的数列不等式通过放缩化归为等差数列和等比数列的问题，则必定是最完美的结果了.

金刊提醒

证明数列不等式通常有以下两种方法可供选择：其一是用数学归纳法证明之；其二是用放缩法证明之.

由于数学归纳法证题的套路相对容易掌握，所以若一个数列不等式能用数学归纳加以证明，则困难相对较小；在高考中具有挑战性的有关数列不等式的问题通常只能选择放缩法加以证明，在放缩中要注意以下几种途径和手段的应用：其一是先求和（或先求积），再放缩；其二是先放缩，再求和（或再求积）；其三是注意以等差（或等比）数列为放缩的目标；其四是注意利用基本不等式进行放缩.当然在放缩中还得注意放缩的“度”的把握，若发现放得过大（或缩得太小），则需及时进行调整和修改，由于通常情况下，放缩的误差往往是由大到小，故首先可试一试，把放缩开始的项做适当的后移；若还不成功，则必修改、纠正各项放缩的偏差了.

3 数列与解析几何

（ ）必做1 如图1，已知曲线C：y=x2（0≤x≤1），O（0，0），Q（1，0），R（1，1），取线段OQ的中点A1，过A1作x轴的垂线交曲线C于P1，过P1作y轴的垂线交RQ于B1，记a1为矩形A1P1B1Q的面积. 分别取线段OA1，P1B1的中点A2，A3，过A2，A3分别作x轴的垂线交曲线C于P2，P3，过P2，P3分别作y轴的垂线交A1P1，RB1于B2，B3，记a2为两个矩形A2P2B2A1与矩形A3P3B3B1的面积之和.以此类推，记an为2n-1个矩形面积之和，从而得数列{an}，设这个数列的前n项和为Sn.

（1）求a1，a2与an； 摇 摇 摇

（2）求Sn，并证明Sn< .

破解思路 （1）若记：得到宽为 的21-1个矩形的作图为第1次操作，得到宽为 的22-1个矩形的作图为第2次操作，以此类推，得到宽为 的2n-1个矩形的作图为第n次操作，则问题的关键即为如何求出这2n-1个矩形的长的总和，若能求出a2的值，则通过总结其运算规律并以此类推到第n次操作就不难求得an了.

（2）求出数列{an}的通项公式后，根据其通项公式的特点，选择合理的方法先求出其前n项和，再做放缩即可.

精妙解法 （1）易得P1 ， ，a1= × = . 记x0=0，x1= ，x2= ，x3= ，则x3-x2=x1-x0= ，a2= （x -x +x -x ）= （x0+x1+x2+x3）= .

第n次操作时，记x0= ，x = ，x2= ，x3= ，…，x = ，x =1，则xi+1-xi= （i=0，1，2，3，…，2n-1），an= ·[（x -x ）+（x -x ）+…+（x -x ）]= （x0+x1+x2+x3+…+x +x ）= [1+2+3+…+（2n-2）+（2n-1）]= = - .

（2）由（1），Sn= ai= 摇 - 摇 = - = - = ×1- - ×1- = - · - n 摇 .

因为对 坌n∈N 鄢有 · - n>0成立，所以Sn= - - n < 成立.

极速突击 由于本题的问题情景有点新意，乍一看好像有点“气势汹汹”，很有挑战性，若能仔细审清题意，剥去问题的“过度包装”，其实是一个比较常规的数列问题. 事实上，本题的本质是给出了一种用初等方法求由y=x2，x=1，x轴围成的图形的面积的一种方法.

（ ）必做2 在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线l1，l2，l3，…的直线簇，满足条件：

①点P（1，1）∈ln（n=1，2，3…）；

②kn+1=an-bn（n=1，2，3…），这里kn+1为直线ln+1的斜率，an，bn分别是直线ln在x轴和y轴上的截距；

③knkn+1>0（n=1，2，3…），试证明你的结论.

破解思路 当kn确定时，直线ln也随之确定，故an，bn也确定，即an，bn必可用kn表示，所以本题的本质其实是一个递推数列问题，因此首先要得到数列{kn}的递推关系，再根据数列{kn}的递推关系式，选择合理的解决办法.

精妙解法 设这样的直线簇存在，由题意可知：直线ln的方程为y-1=kn（x-1）.

令y=0，得an=x=1- ；令x=0，得bn=y=1-kn，所以kn+1=an-bn=kn- .

由于 坌n∈N 鄢有knkn+1>0恒成立，所以对 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立，或对 坌n∈N 鄢有kn<0恒成立.

（i）对 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立时，

即对 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- <0恒成立，所以k1>k2>…>kn>kn+1>0.

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1-k 时，kn+1<0，得矛盾.

（ii）对 坌n∈N 鄢有kn<0恒成立时，

即对 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- >0恒成立，所以k1

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1- >k1- = ，所以当n>k 时，kn+1>0，得矛盾.

由（i）（ii）可知， 满足条件的无穷多条直线l1，l2，l3，…组成的直线簇不存在.

极速突击 （1）对于数学中的存在性问题，其解题对策是：不管它存在与否，一定要从“美好的愿望”出发，就当做它是存在的，去寻找和探索其真实性. 若存在，则可以找到它；若不存在，则其寻找的过程就可以说明不存在的理由.

（2）对于本题，当得到递推关系式kn+1-kn=- 后，若能把 放缩到某一个常数，即以等差数列作为放缩的目标，则问题就不难解决了.

金刊提醒

大多数有关数列与解析几何的综合问题，从试题的表面看好像是解析几何问题，其实解析几何往往只在试题的“包装”中发挥作用，所以对于这类问题的关键是看清试题的本质，把问题化归为有关数列的基本问题，然后再设法解决之.

金刊提醒

证明数列不等式通常有以下两种方法可供选择：其一是用数学归纳法证明之；其二是用放缩法证明之.

由于数学归纳法证题的套路相对容易掌握，所以若一个数列不等式能用数学归纳加以证明，则困难相对较小；在高考中具有挑战性的有关数列不等式的问题通常只能选择放缩法加以证明，在放缩中要注意以下几种途径和手段的应用：其一是先求和（或先求积），再放缩；其二是先放缩，再求和（或再求积）；其三是注意以等差（或等比）数列为放缩的目标；其四是注意利用基本不等式进行放缩.当然在放缩中还得注意放缩的“度”的把握，若发现放得过大（或缩得太小），则需及时进行调整和修改，由于通常情况下，放缩的误差往往是由大到小，故首先可试一试，把放缩开始的项做适当的后移；若还不成功，则必修改、纠正各项放缩的偏差了.

3 数列与解析几何

（ ）必做1 如图1，已知曲线C：y=x2（0≤x≤1），O（0，0），Q（1，0），R（1，1），取线段OQ的中点A1，过A1作x轴的垂线交曲线C于P1，过P1作y轴的垂线交RQ于B1，记a1为矩形A1P1B1Q的面积. 分别取线段OA1，P1B1的中点A2，A3，过A2，A3分别作x轴的垂线交曲线C于P2，P3，过P2，P3分别作y轴的垂线交A1P1，RB1于B2，B3，记a2为两个矩形A2P2B2A1与矩形A3P3B3B1的面积之和.以此类推，记an为2n-1个矩形面积之和，从而得数列{an}，设这个数列的前n项和为Sn.

（1）求a1，a2与an； 摇 摇 摇

（2）求Sn，并证明Sn< .

破解思路 （1）若记：得到宽为 的21-1个矩形的作图为第1次操作，得到宽为 的22-1个矩形的作图为第2次操作，以此类推，得到宽为 的2n-1个矩形的作图为第n次操作，则问题的关键即为如何求出这2n-1个矩形的长的总和，若能求出a2的值，则通过总结其运算规律并以此类推到第n次操作就不难求得an了.

（2）求出数列{an}的通项公式后，根据其通项公式的特点，选择合理的方法先求出其前n项和，再做放缩即可.

精妙解法 （1）易得P1 ， ，a1= × = . 记x0=0，x1= ，x2= ，x3= ，则x3-x2=x1-x0= ，a2= （x -x +x -x ）= （x0+x1+x2+x3）= .

第n次操作时，记x0= ，x = ，x2= ，x3= ，…，x = ，x =1，则xi+1-xi= （i=0，1，2，3，…，2n-1），an= ·[（x -x ）+（x -x ）+…+（x -x ）]= （x0+x1+x2+x3+…+x +x ）= [1+2+3+…+（2n-2）+（2n-1）]= = - .

（2）由（1），Sn= ai= 摇 - 摇 = - = - = ×1- - ×1- = - · - n 摇 .

因为对 坌n∈N 鄢有 · - n>0成立，所以Sn= - - n < 成立.

极速突击 由于本题的问题情景有点新意，乍一看好像有点“气势汹汹”，很有挑战性，若能仔细审清题意，剥去问题的“过度包装”，其实是一个比较常规的数列问题. 事实上，本题的本质是给出了一种用初等方法求由y=x2，x=1，x轴围成的图形的面积的一种方法.

（ ）必做2 在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线l1，l2，l3，…的直线簇，满足条件：

①点P（1，1）∈ln（n=1，2，3…）；

②kn+1=an-bn（n=1，2，3…），这里kn+1为直线ln+1的斜率，an，bn分别是直线ln在x轴和y轴上的截距；

③knkn+1>0（n=1，2，3…），试证明你的结论.

破解思路 当kn确定时，直线ln也随之确定，故an，bn也确定，即an，bn必可用kn表示，所以本题的本质其实是一个递推数列问题，因此首先要得到数列{kn}的递推关系，再根据数列{kn}的递推关系式，选择合理的解决办法.

精妙解法 设这样的直线簇存在，由题意可知：直线ln的方程为y-1=kn（x-1）.

令y=0，得an=x=1- ；令x=0，得bn=y=1-kn，所以kn+1=an-bn=kn- .

由于 坌n∈N 鄢有knkn+1>0恒成立，所以对 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立，或对 坌n∈N 鄢有kn<0恒成立.

（i）对 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立时，

即对 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- <0恒成立，所以k1>k2>…>kn>kn+1>0.

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1-k 时，kn+1<0，得矛盾.

（ii）对 坌n∈N 鄢有kn<0恒成立时，

即对 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- >0恒成立，所以k1

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1- >k1- = ，所以当n>k 时，kn+1>0，得矛盾.

由（i）（ii）可知， 满足条件的无穷多条直线l1，l2，l3，…组成的直线簇不存在.

极速突击 （1）对于数学中的存在性问题，其解题对策是：不管它存在与否，一定要从“美好的愿望”出发，就当做它是存在的，去寻找和探索其真实性. 若存在，则可以找到它；若不存在，则其寻找的过程就可以说明不存在的理由.

（2）对于本题，当得到递推关系式kn+1-kn=- 后，若能把 放缩到某一个常数，即以等差数列作为放缩的目标，则问题就不难解决了.

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大多数有关数列与解析几何的综合问题，从试题的表面看好像是解析几何问题，其实解析几何往往只在试题的“包装”中发挥作用，所以对于这类问题的关键是看清试题的本质，把问题化归为有关数列的基本问题，然后再设法解决之.

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证明数列不等式通常有以下两种方法可供选择：其一是用数学归纳法证明之；其二是用放缩法证明之.

由于数学归纳法证题的套路相对容易掌握，所以若一个数列不等式能用数学归纳加以证明，则困难相对较小；在高考中具有挑战性的有关数列不等式的问题通常只能选择放缩法加以证明，在放缩中要注意以下几种途径和手段的应用：其一是先求和（或先求积），再放缩；其二是先放缩，再求和（或再求积）；其三是注意以等差（或等比）数列为放缩的目标；其四是注意利用基本不等式进行放缩.当然在放缩中还得注意放缩的“度”的把握，若发现放得过大（或缩得太小），则需及时进行调整和修改，由于通常情况下，放缩的误差往往是由大到小，故首先可试一试，把放缩开始的项做适当的后移；若还不成功，则必修改、纠正各项放缩的偏差了.

3 数列与解析几何

（ ）必做1 如图1，已知曲线C：y=x2（0≤x≤1），O（0，0），Q（1，0），R（1，1），取线段OQ的中点A1，过A1作x轴的垂线交曲线C于P1，过P1作y轴的垂线交RQ于B1，记a1为矩形A1P1B1Q的面积. 分别取线段OA1，P1B1的中点A2，A3，过A2，A3分别作x轴的垂线交曲线C于P2，P3，过P2，P3分别作y轴的垂线交A1P1，RB1于B2，B3，记a2为两个矩形A2P2B2A1与矩形A3P3B3B1的面积之和.以此类推，记an为2n-1个矩形面积之和，从而得数列{an}，设这个数列的前n项和为Sn.

（1）求a1，a2与an； 摇 摇 摇

（2）求Sn，并证明Sn< .

破解思路 （1）若记：得到宽为 的21-1个矩形的作图为第1次操作，得到宽为 的22-1个矩形的作图为第2次操作，以此类推，得到宽为 的2n-1个矩形的作图为第n次操作，则问题的关键即为如何求出这2n-1个矩形的长的总和，若能求出a2的值，则通过总结其运算规律并以此类推到第n次操作就不难求得an了.

（2）求出数列{an}的通项公式后，根据其通项公式的特点，选择合理的方法先求出其前n项和，再做放缩即可.

精妙解法 （1）易得P1 ， ，a1= × = . 记x0=0，x1= ，x2= ，x3= ，则x3-x2=x1-x0= ，a2= （x -x +x -x ）= （x0+x1+x2+x3）= .

第n次操作时，记x0= ，x = ，x2= ，x3= ，…，x = ，x =1，则xi+1-xi= （i=0，1，2，3，…，2n-1），an= ·[（x -x ）+（x -x ）+…+（x -x ）]= （x0+x1+x2+x3+…+x +x ）= [1+2+3+…+（2n-2）+（2n-1）]= = - .

（2）由（1），Sn= ai= 摇 - 摇 = - = - = ×1- - ×1- = - · - n 摇 .

因为对 坌n∈N 鄢有 · - n>0成立，所以Sn= - - n < 成立.

极速突击 由于本题的问题情景有点新意，乍一看好像有点“气势汹汹”，很有挑战性，若能仔细审清题意，剥去问题的“过度包装”，其实是一个比较常规的数列问题. 事实上，本题的本质是给出了一种用初等方法求由y=x2，x=1，x轴围成的图形的面积的一种方法.

（ ）必做2 在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线l1，l2，l3，…的直线簇，满足条件：

①点P（1，1）∈ln（n=1，2，3…）；

②kn+1=an-bn（n=1，2，3…），这里kn+1为直线ln+1的斜率，an，bn分别是直线ln在x轴和y轴上的截距；

③knkn+1>0（n=1，2，3…），试证明你的结论.

破解思路 当kn确定时，直线ln也随之确定，故an，bn也确定，即an，bn必可用kn表示，所以本题的本质其实是一个递推数列问题，因此首先要得到数列{kn}的递推关系，再根据数列{kn}的递推关系式，选择合理的解决办法.

精妙解法 设这样的直线簇存在，由题意可知：直线ln的方程为y-1=kn（x-1）.

令y=0，得an=x=1- ；令x=0，得bn=y=1-kn，所以kn+1=an-bn=kn- .

由于 坌n∈N 鄢有knkn+1>0恒成立，所以对 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立，或对 坌n∈N 鄢有kn<0恒成立.

（i）对 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立时，

即对 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- <0恒成立，所以k1>k2>…>kn>kn+1>0.

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1-k 时，kn+1<0，得矛盾.

（ii）对 坌n∈N 鄢有kn<0恒成立时，

即对 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- >0恒成立，所以k1

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1- >k1- = ，所以当n>k 时，kn+1>0，得矛盾.

由（i）（ii）可知， 满足条件的无穷多条直线l1，l2，l3，…组成的直线簇不存在.

极速突击 （1）对于数学中的存在性问题，其解题对策是：不管它存在与否，一定要从“美好的愿望”出发，就当做它是存在的，去寻找和探索其真实性. 若存在，则可以找到它；若不存在，则其寻找的过程就可以说明不存在的理由.

（2）对于本题，当得到递推关系式kn+1-kn=- 后，若能把 放缩到某一个常数，即以等差数列作为放缩的目标，则问题就不难解决了.

金刊提醒

大多数有关数列与解析几何的综合问题，从试题的表面看好像是解析几何问题，其实解析几何往往只在试题的“包装”中发挥作用，所以对于这类问题的关键是看清试题的本质，把问题化归为有关数列的基本问题，然后再设法解决之.