高考数学必做解答题——解析几何

赵攀峰

1 利用函数思想破解解析几何问题

（ ）必做1 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： + =1（a>b>0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为 .

（1）求a，b的值.

（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点.

①若k=1，求△OAB面积的最大值；

②若PA2+PB2的值与点P的位置无关，求k的值.

破解思路 第（2）问的第1小题直接设出直线方程为y=x-m，将△OAB的面积用参数m表示，即建立关于参数m的目标函数，此时可用换元法结合二次函数求最值，也可用基本不等式求最值；第2小题同样是将PA2+PB2表示为关于m的目标函数，因其取值与点P的位置无关，故目标函数中参数m的系数应为0，由此可解得k的值.

精妙解法 （1）由题设可知a=2，e= = ，所以c= ，故b=1. 因此，a=2，b=1.

（2）由（1）可得，椭圆C的方程为 +y2=1. 设点P（m，0）（-2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）.

①若k=1，则直线l的方程为y=x-m. 联立直线l与椭圆C的方程，即y=x-m， +y2=1.将y消去，化简可得 x2-2mx+m2-1=0. 从而有，x1+x2= ，x1·x2= ，S△OAB= ·m·y -y = ·mx1-x2= ·m· . 因此，（S ）2= （5-m2）×m2≤ · =1. 又-2≤m≤2，即m2∈[0，4]. 所以，当5-m2=m2，即m2= ，m=± 时，S△OAB取得最大值1.

②设直线l的方程为y=k（x-m）. 将直线l与椭圆C的方程联立，即y=k（x-m）， 摇 +y2=1.将y消去，化简可得（1+4k2）x2-8mk2x+4（k2m2-1）=0，解此方程，可得x1+x2= ，x1·x2= . 所以，PA2+PB2=（x1-m）2+y +（x2-m）2+y = （x +x ）-2m（x1+x2）+2m2+2= （ 鄢）. 因为PA2+PB2的值与点P的位置无关，即（ 鄢）式取值与m无关，所以有-8k4-6k2+2=0，解得k=± . 所以，k的值为± .

极速突击 备考时要重点掌握“设而不求，整体代换”的技巧，以此简化数学运算，从而达到直接、快速、准确的解题效果. 基本步骤如下：

第一步，设直线y=kx+b与圆锥曲线F（x，y）=0的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）.

第二步，联立F（x，y）=0，y=kx+b消y得x的方程ax2+bx+c=0（或消x得y的方程ay2+by+c=0）.

第三步，根据韦达定理得x1+x2= - ，x1x2= .

第四步，应用违达定理，解决弦长、中点等问题，

（1）弦长公式AB= · ，或者是AB= ；

（2）中点公式，线段AB的中点坐标是 ， +b.

（ ）必做2 如图1，已知椭圆E： + =1（a>b>0）的离心率是 ，P1，P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点. 点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足 + = =2.

（1）求椭圆E的方程以及点Q的坐标.

（2）过点Q的动直线l交椭圆E于A，B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D.

①求证：B，C关于x轴对称；

②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程.

图1

破解思路 对于第（1）问，先将条件 + = 坐标化，再结合FQ=1及椭圆离心率求得椭圆的方程. 对于第（2）问的第1小题，设出B，C的坐标，先求得B关于x轴的对称点B1，证B1与C重合；第2小题先设直线l的方程为x=my+2，再将四边形ABCD的面积用m的关系式表示，运用换元法、构造函数，运用导数考察函数的单调性，求出最大值，进而求得直线l的方程.

精妙解法 （1）设点F（c，0），Q（x，0）（x>a）. 由 + = =2，可得 + = ，解得x= .

依题意，FQ=1，即 -c= =1.

又 = ，b2=a2-c2，所以a= ，b=c=1.

故椭圆的方程是 +y2=1，点Q的坐标是（2，0）.

（2）①设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆E的方程可得（2+m2）y2+4my+2=0，依题意，Δ=（4m）2-8（2+m2）=8（m2-2）>0，m2>2.

此时，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=- ，y ·y = . （ 鄢）

点B关于x轴的对称点B1（x2，-y ），则A，F，B1三点共线等价于

= 圳 + =0 圳 =0，

由（ 鄢）可知上述关系成立.

因此，点C即是点B1，这说明B，C关于x轴对称.

②由①得B，C关于x轴对称，同理， A，D关于x轴对称.

所以四边形ABCD是一个等腰梯形，则四边形ABCD的面积

S=x1-x2·（y +y ）=m·y -y ·y +y = =8 · .

设t= （t>0），则m2=t2+2，S（t）=8 · . 求导可得S′=-8 · ，令S′=0，可得t2=3+ .

由于S（t）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减，故当t2=3+ ，即m2=5+ 时，四边形ABCD的面积S取得最大值.

此时，可得直线l的方程是x= ± y+2.

（ ）必做3 如图2，过抛物线C1：y= x2-2的顶点A作两条斜率之积为- 的直线，与抛物线交于另两点P，Q，直线PQ（PQ与x轴不垂直）与椭圆C2： +x2=1相交于点M，N.endprint

图2

（1）若直线PQ与y轴交于T（0，t），求t的值；

（2）若PQ，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2，且k>0，求 - - 的最小值.

破解思路 第（1）问利用设而不求的方法得到直线PQ的方程，进而得t的值；求解第（2）问的第一直觉是将 - - 中的三个变量减少到只有一个变量，由于k1，k2随k的变化而变化，故将 + 用k来表示，即所求式变为只含k的函数.

精妙解法 （1）因为点P，Q在抛物线C1：y= x2-2上，所以可设其坐标为Pm， -2，Qn， -2. 由题意知A（0，-2），所以k = = ，k = = . 由题意得 = - ，即mn=-4. 又易知k = （m+n），所以得直线PQ的方程为：y- -2= （m+n）（x-m），令x=0得y=t= -2+ （m+n）（-m）=-2- mn=-1，即所求t的值为-1.

（2）设M（x ，y ），N（x ，y ），由题意k= （m+n），又由（1）可知PQ过点（0，-1），所以PQ的方程可写成y= （m+n）x-1=kx-1，代入椭圆方程C2： +x2=1得（4+k2）x2-2kx-3=0，x1+x2= ，x1x2= ，从而可得 + = + = + = = =-k. 又k>0，从而 - - = +k≥2（当且仅当k=1时等号成立），即当k=1时，得m+n=4，mn=-4，解得m=2-2 ，或n=2+2 ， - - =2.

金刊提醒

对于解析几何中的最值和范围问题，一般可用建立目标函数的方法解决之.若能把所求参数表示成某一个变量的函数，则问题就可归为求这个函数的最值（或值域）.

解析几何中的定值问题，所涉及的量“照理”应是一个变量，即这个量应随某一个量的变化而变化，若它真的是一个定值，则它“恰巧”与这个量的变化无关；所以我们只须“装腔作势”地把它表示成关于这个变量的函数，化简以后必可得这个函数为常数，从而问题也得到解决.

2 利用方程思想破解解析几何问题

（ ）必做1 已知曲线C 是以原点O为中心，F ，F 为左、右焦点的椭圆，曲线C 是以O为顶点、F 为焦点的抛物线，A是曲线C 和曲线C 的交点且∠AF F 为钝角，若AF = ，AF = .

（1）求曲线C 和C 所在的椭圆和抛物线的方程.

（2）过F 作一条与x轴不垂直的直线l，与曲线C 交于点B，E，与曲线C 交于点C，D，若G为CD的中点，H为BE的中点，那么 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

破解思路 根据椭圆和抛物线的定义结合图象得到曲线方程，注意∠AF F 为钝角这个条件.对于解析几何中的探索性问题，我们可以用特殊位置尝试是否为定值，以及该定值为多少，以确定证明的方向，将线段的长度用弦长公式表示出来，注意式子中分子、分母的“齐次”性，以便方程联立，将韦达定理代入化简.

精妙解法 （1）由AF +AF = + =6，即有2a=6，解得a=3.

设A（x，y），F （-c，0），F （c，0），则有AF = ，即（x+c）2+y2= 2①.

同理，由AF = ，得（x-c）2+y2= 2②.

则由①-②可得：xc= ③，而由抛物线的定义可知：AF =x+c= ④.

由③④可解得x=1，c= 或x= ，c=1， 但∠AF F 是钝角，故x= ，c=1.

所以所求的椭圆方程为 + =1，抛物线方程为y2=4x.

（2）设B（x ，y ），E（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），直线方程为y=k（x-1）且k≠0.

由y=k（x-1）， + =1消去x整理可得：（9k2+8）y2+16ky-64k2=0，

所以，由韦达定理可得：y +y = - ，y y = .

由y=k（x-1），y2=4x消去x整理可得：ky2-4y-4k=0，

所以，由韦达定理可得：y +y = ，y3y4=-4.

= = = = =3， 故 =3，即定值为3.

另解：由已知可得GF 摇=CF 摇-CG 摇=（x +1）- = ，

且HF 摇=BF 摇- BE 摇=3- x 摇- = · .

将以上各值代入得 = =3.

（ ）必做2 已知椭圆C的中心为原点，点F（1，0）是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A，B两点，且当直线l垂直于x轴时， · = .

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线l，使得在椭圆C的右准线上可以找到一点P，满足△ABP为正三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.

破解思路 解析几何是用代数的方法解决几何问题，处处体现函数方程思想，本题第（1）问直接利用相应关系求解即可. 在处理△ABP为正三角形时，注意转化与化归，将“角度”与“长度”有效结合，建立方程求解，利用方程的解的个数来反映直线的条数. 同时直线与方程联立，将韦达定理与“长度”方程有效结合起来是解决本题的关键，但是注意别忽视斜率不存在的情况. 另外，在练习时也可以将“等边三角形”变为“等腰三角形”.

精妙解法 （1）设椭圆C的方程为： + =1（a>b>0），则a2-b2=1①.

因为当l垂直于x轴时，A，B两点的坐标分别是1， 和1，- ，

所以 · =1， ·1，- =1- ，则1- = ，即a2=6b4 ②.

由①②消去a，得6b4-b2-1=0，所以b2= 或b2=- （舍去）.

当b2= 时，a2= . 因此，椭圆C的方程为 +2y2=1.endprint

（2）设存在满足条件的直线l.

①当直线l垂直于x轴时，由（1）的解答可知AB= = ，焦点F到右准线的距离为d= -c= ，此时不满足d= AB. 因此，当直线l垂直于x轴时不满足.

②当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-1）.

联立y=k（x-1）， +2y2=1 圯（6k2+2）x2-12k2x+6k2-3=0.

设A，B两点的坐标分别为（x ，y ）和（x ，y ），则x +x = ，x x = .

由此可得AB= x -x =

=

= . 摇

又设AB的中点为M，则x = = .

当△ABP为正三角形时，直线MP的斜率为k =- ，因为x = ，

所以MP= x -x = · - = · .

当△ABP为正三角形时，MP= AB，即 · = · ，解得k2=1，k=±1.

因此，满足条件的直线l存在，且直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

金刊提醒

对定值问题的解题步骤可归纳为：一选，二求，三定值.具体操作程序如下：一选，选择参变量.需要证明为定值的量“照理”应该是变量，它应该随某一个量的变化而变化，可选择这个量为参变量（有时可选择两个参变量，然后由其他辅助条件消去其中一个）.二求，求出目标函数或目标方程，把需要证明为定值的量表示成关于上述参变量的函数或方程.三定值：化简函数解析式或求解相关方程得到定值.由题目的结论可知要证明为定值的量必与参变量的大小无关，故求出的函数必为常数函数，所以只需对上述函数的解析式进行必要的化简即可得到定值，如必做1.

3 利用不等式知识破解解析几何问题

（ ）必做1 已知动点P与双曲线 - =1的两个焦点F ，F 的距离之和为定值，且cos∠F PF 的最小值为- .

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若已知D（0，3），M，N在动点P的轨迹上且 =λ ，求实数λ的取值范围.

破解思路 第（1）问利用椭圆中的焦点三角形的边角关系，利用余弦定理，建立不等式求解. 第（2）问由向量之间的联系，找到对应点坐标之间的关系，得出λ与k的等量关系，由k的取值范围，建立不等式求出λ的取值范围.

精妙解法 （1）双曲线的焦点的坐标为F （- ，0），F （ ，0），则有F F =2 ，设PF +PF =2a.

在△F1PF2中，可得cos∠F PF = = -1. 由cos∠F PF 有最小值，故4a2-20>0，而PF PF ≤ 2=a2.

故有cos∠F PF ≥ -1= - ，解得a2=9.

故点P的轨迹是以F ，F 为焦点，长轴长为6的椭圆，a2=9，c= ，b2=4，故椭圆方程为 + =1.

（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+3，M（x ，y ），N（x ，y ），

则由y=kx+3，4x2+9y2=36消去y可得：（9k2+4）x2+54kx+45=0.

由 驻=b2-4ac=（54k）2-4×45（9k2+4）>0，解得：k2 > .

又x +x = ，x x = ， =λ ，则有x =λx ，y -3=λ（y -3），

所以x +x =（λ+1）x ，x x =λx ，即x x = · 2= ，整理可得： = +9.

因为k2> ，所以0< < ，所以9< +9< .

所以9< < ，即 <λ<5且λ≠1.

而当直线的斜率不存在时，λ= 或λ=5.

综上所述，λ∈ ，1∪（1，5].

极速突击 解决此类问题的关键在于找到题目中存在的不等关系求出取值范围，一般根据方程联立有解得 驻≥0，以及题目中给定的条件. 在解析几何中，几何的关系是最为直接的，要善于发现其中的联系.同时要真正掌握变量消参的思想，使得在变量较多的情况下，清晰转化.

金刊提醒

要探求某一参变量的取值范围时，我们只须得到这个参变量应满足的目标不等式，再解这个目标不等式即可，所谓“退一步海阔天空”就是这个道理！但在具体操作时，其思考方法与目标函数法相同，最后选择目标不等式法还是目标函数法要视具体情况而定.

4 圆与圆锥曲线的综合

（ ）必做1 在平面直角坐标系中，已知点A ，0，点B在直线l：x=- 上运动，过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M.

（1）求动点M的轨迹E的方程；

（2）设点P是轨迹E上的动点，点R，N在y轴上，圆C：x=1+cosθ，y=sinθ（θ为参数）内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值.

破题思路 （1）利用定义求出动点M的轨迹E的方程；（2）由直线与圆相切的条件得到两个相似的方程，运用方程的相关理论和基本不等式得到面积的最小值.

精妙解法 （1）设点M的坐标为（x，y），由题设知，MB=MA. 所以动点M的轨迹E是以A ，0为焦点，l：x=- 为准线的抛物线，其方程为y2=2x.

（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b>c，故直线PR的方程为（y0-b）x-x0y+x0b=0.

由x=1+cosθ，y=sinθ消去参数θ，得（x-1）2+y2=1. 摇

由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，即 =1.

注意到x0>2，化简上式，得（x0-2）·b2+2y0b-x0=0，同理可得（x0-2）c2+2y0c-x0=0.endprint

由上可知，b，c为方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0的两根，根据求根公式，可得b-c= = .

故△PRN的面积为

S= （b-c）x0= =（x0-2）+ +4≥2 +4=8，当且仅当x0=4时等号成立.此时点P的坐标为（4，2 ）或（4，-2 ）.

综上所述，当点P的坐标为（4，2 ）或（4，-2 ）时，△PRN的面积取最小值8. 摇

（ ）必做2 设椭圆E： + =1（a>b>0）过M（2， ），N（ ，1）两点，O为坐标原点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 ⊥ ？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围；若不存在，请说明理由.

破解思路 对于第（2）问，可以先通过特殊情况（切线斜率不存在时）将圆的方程解出，此时可得切线与圆的交点分别为（r，r），（r，-r），即为A，B两点，然后迅速解出r2= ，之后在明确圆的情况下，再证明对于一般情况下是否能满足：切线与椭圆有两个交点A，B，使 ⊥ . 这两点在明确了圆的方程之后不难“验证”.这种做法的优势在于“早早明确了目标”.

精妙解法 （1）因为椭圆E： + =1（a>b>0）过M（2， ），N（ ，1）两点，所以 + =1， + =1，解得 = ， = ，所以a2=8，b2=4，椭圆E的方程为 + =1.

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x ，y ），B（x ，y ），且 ⊥ . 设该圆的切线方程为y=kx+m，联立可得y=kx+m， + =1，即x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，则x +x = - ，x x = .

驻=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）>0，即8k2-m2+4>0.

y y =（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km·（x1+x2）+m2=k2· - +m2= .

要使 ⊥ ，需使x1x2+y y =0，即 + =0，所以3m2-8k2-8=0，所以k2= ≥0.

又8k2-m2+4>0，所以m2>2，3m2≥8，所以m2≥ ，即m≥ 或m≤- .

因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r= ，r2= = = ，r= ，所求的圆为x2+y2= ，此时圆的切线y=kx+m都满足 ⊥ .

而当切线的斜率不存在时，切线x=± 与椭圆 + =1的两个交点为 ，± 或- ，± ，满足 ⊥ .

综上，存在圆心在原点的圆x2+y2= ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 ⊥ .

所以（x -x ）2=（x +x ）2-4x x =- 2-4· = ，所以AB= = .

当k≠0时，由此可得AB= ，因为4k2+ +4≥8，所以0< ≤ ，所以 < 1+ ≤12，

所以

当k=0时，AB= .

当切线的斜率不存在时，切线与椭圆的两个交点为 ，± 或- ，± ，所以此时AB= .

综上，AB的取值范围为 ≤AB≤2 ，即AB∈ ，2 .

极速突击 本题属于探究型问题，主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数的关系. 此题充分说明“圆”与“椭圆”处理方式的区别，圆是“数形结合的精灵”，椭圆是“代数方法（坐标）研究几何问题的载体”！两者在高考中是有明确体现的，用“圆”来考“数形结合”，椭圆来考“方程运算”.

金刊提醒

解析几何研究的主要对象是直线、圆、圆锥曲线，常见题型有：（1）探求动点的轨迹（曲线方程）问题；（2）求参数取值范围或最值的综合问题；（3）有关定值、定点等的证明问题. 解析法的主要思想方法：将几何问题化归为代数问题，用方程的观点实现几何问题代数化，主要解题步骤：设、联、消、韦、转、求.

由上可知，b，c为方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0的两根，根据求根公式，可得b-c= = .

故△PRN的面积为

S= （b-c）x0= =（x0-2）+ +4≥2 +4=8，当且仅当x0=4时等号成立.此时点P的坐标为（4，2 ）或（4，-2 ）.

综上所述，当点P的坐标为（4，2 ）或（4，-2 ）时，△PRN的面积取最小值8. 摇

（ ）必做2 设椭圆E： + =1（a>b>0）过M（2， ），N（ ，1）两点，O为坐标原点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 ⊥ ？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围；若不存在，请说明理由.

破解思路 对于第（2）问，可以先通过特殊情况（切线斜率不存在时）将圆的方程解出，此时可得切线与圆的交点分别为（r，r），（r，-r），即为A，B两点，然后迅速解出r2= ，之后在明确圆的情况下，再证明对于一般情况下是否能满足：切线与椭圆有两个交点A，B，使 ⊥ . 这两点在明确了圆的方程之后不难“验证”.这种做法的优势在于“早早明确了目标”.

精妙解法 （1）因为椭圆E： + =1（a>b>0）过M（2， ），N（ ，1）两点，所以 + =1， + =1，解得 = ， = ，所以a2=8，b2=4，椭圆E的方程为 + =1.

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x ，y ），B（x ，y ），且 ⊥ . 设该圆的切线方程为y=kx+m，联立可得y=kx+m， + =1，即x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，则x +x = - ，x x = .

驻=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）>0，即8k2-m2+4>0.

y y =（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km·（x1+x2）+m2=k2· - +m2= .

要使 ⊥ ，需使x1x2+y y =0，即 + =0，所以3m2-8k2-8=0，所以k2= ≥0.

又8k2-m2+4>0，所以m2>2，3m2≥8，所以m2≥ ，即m≥ 或m≤- .

因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r= ，r2= = = ，r= ，所求的圆为x2+y2= ，此时圆的切线y=kx+m都满足 ⊥ .

而当切线的斜率不存在时，切线x=± 与椭圆 + =1的两个交点为 ，± 或- ，± ，满足 ⊥ .

综上，存在圆心在原点的圆x2+y2= ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 ⊥ .

所以（x -x ）2=（x +x ）2-4x x =- 2-4· = ，所以AB= = .

当k≠0时，由此可得AB= ，因为4k2+ +4≥8，所以0< ≤ ，所以 < 1+ ≤12，

所以

当k=0时，AB= .

当切线的斜率不存在时，切线与椭圆的两个交点为 ，± 或- ，± ，所以此时AB= .

综上，AB的取值范围为 ≤AB≤2 ，即AB∈ ，2 .

极速突击 本题属于探究型问题，主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数的关系. 此题充分说明“圆”与“椭圆”处理方式的区别，圆是“数形结合的精灵”，椭圆是“代数方法（坐标）研究几何问题的载体”！两者在高考中是有明确体现的，用“圆”来考“数形结合”，椭圆来考“方程运算”.

金刊提醒

解析几何研究的主要对象是直线、圆、圆锥曲线，常见题型有：（1）探求动点的轨迹（曲线方程）问题；（2）求参数取值范围或最值的综合问题；（3）有关定值、定点等的证明问题. 解析法的主要思想方法：将几何问题化归为代数问题，用方程的观点实现几何问题代数化，主要解题步骤：设、联、消、韦、转、求.

由上可知，b，c为方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0的两根，根据求根公式，可得b-c= = .

故△PRN的面积为

S= （b-c）x0= =（x0-2）+ +4≥2 +4=8，当且仅当x0=4时等号成立.此时点P的坐标为（4，2 ）或（4，-2 ）.

综上所述，当点P的坐标为（4，2 ）或（4，-2 ）时，△PRN的面积取最小值8. 摇

（ ）必做2 设椭圆E： + =1（a>b>0）过M（2， ），N（ ，1）两点，O为坐标原点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 ⊥ ？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围；若不存在，请说明理由.

破解思路 对于第（2）问，可以先通过特殊情况（切线斜率不存在时）将圆的方程解出，此时可得切线与圆的交点分别为（r，r），（r，-r），即为A，B两点，然后迅速解出r2= ，之后在明确圆的情况下，再证明对于一般情况下是否能满足：切线与椭圆有两个交点A，B，使 ⊥ . 这两点在明确了圆的方程之后不难“验证”.这种做法的优势在于“早早明确了目标”.

精妙解法 （1）因为椭圆E： + =1（a>b>0）过M（2， ），N（ ，1）两点，所以 + =1， + =1，解得 = ， = ，所以a2=8，b2=4，椭圆E的方程为 + =1.

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x ，y ），B（x ，y ），且 ⊥ . 设该圆的切线方程为y=kx+m，联立可得y=kx+m， + =1，即x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，则x +x = - ，x x = .

驻=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）>0，即8k2-m2+4>0.

y y =（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km·（x1+x2）+m2=k2· - +m2= .

要使 ⊥ ，需使x1x2+y y =0，即 + =0，所以3m2-8k2-8=0，所以k2= ≥0.

又8k2-m2+4>0，所以m2>2，3m2≥8，所以m2≥ ，即m≥ 或m≤- .

因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r= ，r2= = = ，r= ，所求的圆为x2+y2= ，此时圆的切线y=kx+m都满足 ⊥ .

而当切线的斜率不存在时，切线x=± 与椭圆 + =1的两个交点为 ，± 或- ，± ，满足 ⊥ .

综上，存在圆心在原点的圆x2+y2= ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 ⊥ .

所以（x -x ）2=（x +x ）2-4x x =- 2-4· = ，所以AB= = .

当k≠0时，由此可得AB= ，因为4k2+ +4≥8，所以0< ≤ ，所以 < 1+ ≤12，

所以

当k=0时，AB= .

当切线的斜率不存在时，切线与椭圆的两个交点为 ，± 或- ，± ，所以此时AB= .

综上，AB的取值范围为 ≤AB≤2 ，即AB∈ ，2 .

极速突击 本题属于探究型问题，主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数的关系. 此题充分说明“圆”与“椭圆”处理方式的区别，圆是“数形结合的精灵”，椭圆是“代数方法（坐标）研究几何问题的载体”！两者在高考中是有明确体现的，用“圆”来考“数形结合”，椭圆来考“方程运算”.

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解析几何研究的主要对象是直线、圆、圆锥曲线，常见题型有：（1）探求动点的轨迹（曲线方程）问题；（2）求参数取值范围或最值的综合问题；（3）有关定值、定点等的证明问题. 解析法的主要思想方法：将几何问题化归为代数问题，用方程的观点实现几何问题代数化，主要解题步骤：设、联、消、韦、转、求.