高考数学必做创新题

章少川

1 运算定义型

（ ）必做1 定义平面向量的一种运算：a 塥b=a·bsin〈a，b〉，则下列命题：

①a 塥b=b 塥a；

②λ（a 塥b）=（λa） 塥b；

③（a+b） 塥c=（a 塥c）+（b 塥c）；

④若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a 塥b=x1y2-x2y1.

其中真命题是________（写出所有真命题的序号）.

精妙解法 由定义可知b 塥a=b·asin〈a，b〉=a 塥b，所以①正确.

②当λ<0时，〈λa，b〉=π-〈a，b〉，所以（λa） 塥b=λa·bsin〈λa，b〉= -λa·bsina，而λ（a 塥b）=λa·b·sin〈a，b〉，所以②不成立.

③因为a+b的长度不一定等于a+b，所以③不成立.

④（a 塥b）2=a2·b2sin2〈a，b〉=a2·b2（1-cos2〈a，b〉）=a2·b2-a2·b2cos2〈a，b〉=a2·b2-（a·b）2=（x +y ）（x +y ）-（x1x2+y1y2）2=（x1y2-x2y1）2，所以a 塥b=x1y2-x2y1，所以④成立.

所以真命题是①④.

（ ）必做2 在实数集R中定义一种运算“ 鄢”，对任意a，b∈R，a 鄢b为唯一确定的实数，且具有以下性质：

（1）对任意a∈R，a 鄢0=a；

（2）对任意a，b∈R，a 鄢b=ab+（a 鄢0）+（b 鄢0）.

关于函数f（x）=（ex） 鄢 的性质，有如下说法：

①函数f（x）的最小值为3；

②函数f（x）为偶函数；

③函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0].

其中正确说法的个数为（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

精妙解法 由运算定义得f（x）=（ex） 鄢 =1+ex+ ≥1+2 =3，①正确；

f（-x）=1+e-x+ =1+ +ex=f（x），②正确；令f ′（x）=ex-e-x≥0，解得x≥0，

即单调递增区间为[0，+∞），③错误. 故选C.

2 概念定义型

（ ）必做1 设集合A 哿R，如果x0∈R满足：对任意a>0，都存在x∈A，使得0

①Z+∪Z-；

②R+∪R-；

③xx= ，n∈N 鄢；

④xx= ，n∈N 鄢，

以0为聚点的集合有__________（写出所有你认为正确的结论的序号）.

精妙解法 ①当a= 时，此时对任意的x∈Z+∪Z-，都有x-0=0或者x-0≥1，也就是说不可能0

②对于集合{xx≠0，x∈R}，对任意的a，都存在x= （实际上任意比a小的数都可以），使

0

③集合xx= ，n∈N 鄢中的元素是极限为0的数列，对于任意的a>0，存在n> ，使0

所以0是集合xx= ，n∈N 鄢的聚点.

④集合xx= ，n∈N 鄢的元素是极限为1的数列，除了第一项0外，其余的都至少比0大 ，所以在a< 时，不存在满足0

故答案为②③.

（ ）必做2 定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”. 现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：

①f（x）=2x；②f（x）=log x；③f（x）=x2；④f（x）=ln2x，

则其中是“等比函数”的f（x）的序号为____________.

精妙解法 若①f（x）=2x，则 = =2 ，不是常数，所以①不是“等比函数”；②若f（x）=log x， = ，不是常数，所以②不是“等比函数”；③若f（x）=x2， = = ，是常数，所以③是“等比函数”；④若f（x）=ln2x，则f（x）=xln2， = = ，是常数，所以④是“等比函数”. 综上， f（x）是“等比函数”的序号为③④.