生产成本的最优化问题探究

刘瑞华

【教学内容】

本节课是在高一学生学完全日制普通高中教科书《数学》（必修）第一册（上）“函数的单调性”之后组织的一次数学问题研究学习课，旨在提高学生应用数学知识的能力和对数学问题的探究能力，是对“高中数学问题研究学习法”的一次有益尝试。

本节课研究的实际问题是：高效益下的低成本问题。

本节课研究的数学模型是：函数y=x+■。

本节课研究获得的成果是：发现了函数y=x+■的图象及其单调性特征，并运用这一特征解决了一个实际问题。

【教学过程】

一、情境

师：今天我们将运用数学知识来帮助一家企业安排他们的生产计划，希望能够获得成功。（大屏幕显示）

我市一家民营企业根据市场需求决定调整某产品的生产量，以降低成本、提高效益。据统计的历史资料显示：生产该产品每年固定成本为100万元，每年生产x万件产品的生产成本为x（x+2）百万元，该企业全年的生产能力在0.1万～2万件之间。请你帮助设计生产规模，要求用最小的投入获得最大的效益。

二、问题

问题1：这项工作的实质内容是什么？（引导学生发现问题）怎样用数学知识去解决？（引导建立数学模型）

三、探究

（分小组讨论3分钟后）

A组学生1：这项工作实质是让我们确定生产量，使全年的总成本最小。（提出假设）我们的解法是这样的：（投影展示）

设全年生产总成本为y，则有y=x（x+2）+1，即y=x2+2x+1（0.1≤x≤2），这个函数在[0.1，2]上是增函数，故当x=0.1万件时，y=1.21百万为最小，所以安排每年生产0.1万件最好。

师：说说你们这样考虑的理由。

生：因为总成本就是总投入，花钱越少越好。……