求解函数值域的常用方法

张昌俭

【摘要】复合函数直接求得值域很困难，求值域的方法很多，本文列举了七种经典的解法.

【关键词】反函数;常数分离;判别式法;数形结合;换元法;有界性

直接求解复合函数的值域比较困难，本文主要解决不能用直接法求解值域的复合函数，本文主要讲解了七种常用的经典方法，分别是求导法、反函数法、常数分离法、判别式法、数形结合法、换元法和有界性.

一、形如y=x-kx（k>0）与y=x+kx（k>0）两类函数的值域

y=x-kx（k>0）与y=x+kx（k>0）两个函数形式很像，但是性质差异却很大，下面我们来分别讲解下这两种函数求解值域的方法.

对于y=x-kx（k>0），我们用直接法去求解它的值域，可以把它看成两个单调递增函数y=x与y=-kx（k>0）的和，其中y=x在实数上单调递增，y=-kx（k>0）在（-∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别单调递增的，因此两个函数的和在（-∞，0）上和（0，+∞）两个区间上分别也是单调递增的.

例1 求y=x-6x在[1，7]上的值域.

解析 因为y=x-6x在x≠0上是单调递增函数，因此它在[1，7]的值域为-5，437.

对于y=x+kx（k>0），它在定义域x≠0上没有单调性，可求导判断单调性.

y′=1-kx2，当y′>0时，x∈（-∞，-k）∪[k，+∞）.当y′<0时，x∈[-k，0）∪（0，k].也就是说单调递增区间是（-∞，-k]和[k，+∞），单调递减区间是[-k，0）和（0，k]，它不是連续函数，在零点间断，所以分别在各区间上单调递增和单调递减.

例2 求y=x+6x在（-∞，-1]上的值域.

解析 因为y=x+6x在（-∞，-6]上单调递增，在这个区间上的值域是（-∞，-26]，在[-6，-1]上单调递减，在这个区间上的值域也是[-7，-26]，所以在整个定义域上的值域是（-∞，-26].

点评 这种类型的题，主要看x和1x前面的系数是否同号，如果异号就直接判断它的单调性，如果同号就是分段的单调性.同样地，y=-x+kx（k>0）两个系数异号，直接考虑单调性，它相当于y=x-kx（k>0）函数取负，所以它在（-∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别单调递减;y=-x-kx（k>0）两个系数同号，所以考虑分段单调性，它相当于y=x+kx（k>0）函数取负，所以它的单调递减区间是（-∞，-k……