三元数函数与解析

白烁星 韩江燕

【摘要】本文从复数理论出发，通过推广函数、解析等数学概念，逐步建立了三元数函数与解析的理论.

【关键词】数平面;数空间;平面解析;空间解析;泛解析;半解析;幂级数

【中图分类号】O153.5 泛代数

一、引 言

三元数、多元数的研究始于曲阜师大《中学数学杂志》发表的《超越复数的三元数》《复数的多元数》，后东北师大《数学学习与研究》发表了《代数基本定理在高维数空间之证明》，多项式函数首先得到了深刻的研究.然而数空间里是否存在优美和谐的函数与解析理论呢？本文从复数理论出发，通过推广函数、解析等数学概念，尝试给出了一个有趣的解答.

二、三元数基础知识

1.三元数的代数运算与三维数空间

形如a+bi+cj（a，b，c∈R）的数叫作三元数，三元数通常用一个字母p来表示，即

p=a+bi+cj，全体三元数构成的集合叫作三元数集，用字母A3来表示，定义：（1）i2=j2=-1（2）i·j=0，则有：（a0+a1i+a2j）±（b0+b1i+b2j）=（a0±b0）+（a1±b1）i+（a2±b2）j，

（a0+a1i+a2j）×（b0+b1i+b2j）=（a0b0-a1b1-a2b2）+（a0b1+b0a1）i+（a0b2+b0a2）j.

說明 （1）三元数的加法满足交换律、结合律，乘法满足交换律及对加法的分配律;

（2）除法是乘法的逆运算，两个三元数作除法运算，可依三元数相等的定义及乘法公式求得.

建立了空间直角坐标系来表示三元数的空间叫作三维数空间，简称数空间，仍用A3来表示.于是：

实数一一对应实轴上的点;

复数z=a+bi一一对应复平面内点z（a，b）;

三元数p=a+bi+cj一一对应数空间内点p（a，b，c）.

2.三元数的几何表示与重要性质

三维数空间内的点p可以表示三元数，由于三元数集A3与三维数空间内所有以原点O为起点的向量OP所组成的集合一一对应（实数0与零向……