浅析立体几何应用题的三种解法

张文军

【摘要】文章针对教材中一道立方体几何应用题的解法进行评析，然后给出本题的其他解法，总结出解决立体几何的三种解法：坐标法、向量法、综合法.

【关键词】立体几何 评析 解法

1.问题引入

高中数学教材人教A版选修2-1第三章开始引入的问题是：一块均匀的正三角形面的钢板质量为500 kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，且|F1|=|F2|=|F3|=200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板？然后在3.2立体几何中的向量方法中以例3形式呈现问题并解决问题（注：2013年6月印版的例3与引入问题有一些数字改动：钢板质量为50 kg，力的大小为200 N）.

2.教材解法评析

教材如图3.2-6所示建立空间直角坐标系而解决问题（具体解法见教材）.下面对教材的解法进行几点评析：

（1）教材中建立空间直角坐标系的方法不是最好的.坐标系的建立方法是不唯一的，原则上是任意的，不会影响到最终结果;但通常为了简化运算，我们要恰当建系.怎样才算恰当呢？通常要尽量利用已知中现有或隐含的垂直关系以及图形的对称关系进行建系，使尽量多的点落在坐标轴上.笔者认为本例最好的建系方法应是以正三角形一边为一轴，且以其中点为原点，竖直方向为z轴，进行建系.

（2）单位向量的引入未能起到简化运算作用，无理式运算结果应化简.教材引入力F1方向上的单位向量，这是学生难以想到的.引入单……