线性非齐次常系数微分方程待定系数法的严格证明及其解的有界性讨论

尹伯亚

【摘要】大多数书本在待定系数法这个很重要很好用的方法上没有给出非常严格的证明，以特殊情况达到更容易理解的目的，本人这里给出一个严格的证明.以一个简单的问题引出满足一定条件的线性非齐次常系数微分方程有界性的证明.本文为纯数学推导，无任何参考文献，旨在解决在学习过程中出现的问题和对遇到的有趣问题进行延伸.

【关键词】待定系数法;引例;有界性

1.

待定系数法的严格证明

考虑方程dnxdtn+a1dn-1xdtn-1+a2dn-2xdtn-2+…+an-1dxdt+anx=（b0+b1t+b2t2+…+bmtm）est.

L[x]=dnxdtn+a1dn-1xdtn-1+a2dn-2xdtn-2+…+an-1dxdt+anx.

将x=yest代入，可得

dixdti=∑ik=0Ckiyi-kestsk（i=1，2，…，n）.

两边eat约掉，以下这里不再考虑est，

作和∑ni=0aidixdti.

我们考虑y（i）（i=0，1，2，…，n）的系数，

至少dkxdtk（k≥i）才有可能产生y（i）.可得系数

Ji=∑nk=iCikan-isk-i=1i！∑nk=ik！（k-i）！an-ksk-i（a0=1，0！=1）.

Jndnydtn+Jn-1dn-1ydtn-1+Jn-2dn-2ydtn-2+…+J1dydt+J0y=b0+b1t+b2t2+…+bmtm.

考虑dnxdtn+a1dn-1xdtn-1+a2dn-2xdtn-2+…an-1dxdt+anx的特征多项式：

λn+a1λn-1+a2λn-2+…+an-1λ+a.

通过求导可以发现特征多项式的i阶导就是i！Ji其中将λ换成指数系数s.

i重根满足f（k）=0（k=1，2，…，i-1），f（i）≠0.

若s是特征方程的i重根，则Jk=0（i=0，1，…，i-1），Ji≠0.

y=φ（t）=tl（d0+d1t+d2t2+……+dmtm）.

显然只有满足l=i，才能使等式两边可能相等

而又由x=yest，

则可假设x=ti（d0+d1t+d2t2+…+dmtm）est.

x代入初始方程两边相等便可列出等价方程，此方程一定可解出di（i=0，1，…，m），这样我们便完整地证明了线性非齐次常系数方程待定系数法求特解的方法.

2.满足一定条件的微分方程有界性引例

给定方程x″+8x+7=q（t），已知q（t）在0≤x≤+∞连续，

（1）若q（t）在0≤x≤+∞上有界，则此方程的每一个解在0≤x<+∞上有界.

（2）若limt→+∞q（t）=0，则此方程每一个解x（t）都有limt→+∞x（t）=0.

（1）解：可列出特征方程λ2+8λ+7=0，

得λ1=-1，λ2=-7.

∴相应的线性齐次方程的解为C1e-t+C2e-7t（C1，C2为任意常数）.

由常数变异法取x=C1（t）e-t+C2（t）e-7t（*）.

C′1（t）e-t+C′2（t）e-7t=0，

-C′1（t）e-t-7C′2（t）e-7t=q（t）.

其系数行列式为e-te-7t

-e-t-7e-7t

将e-t和e-7t提出，则行列式为e-8t11

-1-7=-6e-8t

由cramer法则

C′1（t）=0e-7t

p（t）-7e-7t/（-6e-8t）=e-7tp（t）6e-8t=etp（t）6.

先只考虑C1（t），

可取C′1（t）的特殊积分∫t0etp（t）6dt作为C1（t）.

代回（*）中，

考慮I=e-t∫t0etp（t）6dt的有界性，

由于p（t）有界，不妨设p（t）<6M，

则

I

则I有界.

同理可证C2（t）e-7t有界.

由常数变异法可知（*）为一特解，则这一特解