谈高考中数学中的分类讨论思想

谢必烨

分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略.它体现了化整为零、积零化整的思想与归类整理的方法，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化.每年高考都有考查分类讨论这一数学思想，可以反映考生对分类标准理解的深度，具有一定的探索性，而且分类讨论问题综合性强，能力要求高，思维力度大，内在联系密切，思维方法灵活，致使很多考生在有关分类讨论的题目中失分较多.下面就来介绍分类讨论的类型.

一、概念型分类讨论

有一些问题所涉及的数学概念是分类进行定义的.如|a|的定义分a>0，a=0，a<0三种情况.这种分类讨论题型可以称为概念型.

例1 关于x的方程x2-12-x2-1+k=0，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根;

②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根;

③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根;

④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.

其中假命题的个数是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

分析 本题中含有参变量k以及绝对值符号，不同取值会导致问题的结论有多种情况或多种不同结果.

解 由题意可设x2-1=t（t≥0）①，则方程化为t2-t+k=0②，作出函数y=x2-1的图像，结合函数的图像可知：（1）当t=0或t>1时，方程①有2个不相等的根;（2）当0

二、性质型分类讨论

数学中有些问题涉及的数学定理、公式和运算性质、法则等是有范围或者条件限制，或是分类给出的.如等比数列的前n项和的公式，分q=1和q≠1两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型.

例2 已知loga2x+1>loga3-x（a>0且a≠1），则x的取值范围是 .……