若干基本定理的新角度证明

李玉龙

【摘要】在本科数学的教学中，高等代数和数学分析是最基本最重要的内容，其中矩阵和微积分的思想是十分绚丽且深刻的思想，能够深刻地掌握其思想精髓，灵活地运用才是目的.

【关键词】矩阵的秩定理;有限开覆盖定理;欧拉定理;可数集;隐函数组定理

然而在教学中不是一件容易的事，在本科教学中有好多学生对一些基本定理的理解显然不足，没有自己的看法和思路，甚至勉强承认书本中的逻辑式的证明，对定理的本质没有一点“感觉”，很难转化为自己的东西.为此在比较了中西方许多教科书之后，针对其中的一些基本定理，摈弃一些传统的固定模式的证明，从新角度给予阐释，目的在于把命题的本质“自然”“看得见的”呈现在读者面前，弄清楚是什么，是怎么回事，一旦明白了本质，证明只是一件简单严格叙述的事情罢了，从而帮助本科生更好地理解学习.

1.矩阵的秩定理

矩阵的行秩和列秩相等.

这是高等代数里非常基本的性质定理之一，大部分教材是通过客观的证明行秩小于等于列秩，列秩小于等于行秩来证明行秩与列秩相等.我们通过矩阵本身最基本的初等变换，给出一种自然的看法.

让我们先看看最简单的一般形式的梯形矩阵吧.

A=0100000000

0001000000

0000001000

0000000100

0000000000（1）

这显然行秩等于列秩，实际上就是1的个数.那让我们再看看普通的矩阵：

B=a11……a1n

ami……amn（2）

和梯形矩阵（1）的关系.

很显然，任何一个矩阵（2）都可以通过有限次初等变换变成（1）.

那反过来呢？因为初等