超－π－Brauer特征标理论

钟艳林，郑秉文

(1.闽南理工学院;2.北华大学)

0 引言

对于Brauer特征标，有人建立这样的理论:设G是有限群，p为一个固定的素数，G0为G的p－正则元的集合，而cl(G0)表示G的p－正则元所在的共轭类的集合.IBr(G)表示G的不可约p－Brauer特征标的集合.

假设IBr(G)被划分为族Y，并且假定对每一个，选择一个非零Brauer特征标θY，其不可约Brauer成分都在Y中.若可以找到G0的一个划分为K的族使得Brauer特征标θY在K∈K上取常值，并且|Y|=|K|.还要求{1}∈K.在这种情况下，称θY为G的超 －Brauer特征标.

1 新的一节

对于π－Brauer特征标是否也可以建立类似的理论呢?在该文中，将讨论关于π－Brauer特征标的一些结论.设G为π－可分群，G*为G的π－正则元的集合，cl(G*)表示G的π－正则类的集合.Iπ(G)表示G的不可约π－Brauer特征标的集合.首先来看几个引理.

定义1 设π是一个素数集合，如果|G|的每个素因子均在π中，称有限群G为π群［1］.

定义2 称有限群G为π群，如果存在G的一个正规群列G=N0≥N1≥N2≥…≥Nr=1，使 Ni/Ni+1为 π 群，i=0，1，2，…，r－ 1.

引理3 设χ∈Bπ(G)，G为π －可分群，则Oπ'(G)⊆ kerχ.

引理4 设G为π－可分群.对每个子集Y∈Y，θY是一个非的π－Brauer特征标，它的不可约成分都在Y中.假如|Y|=|K|，并且θY在集合K∈K中取常值.那么下面结论等价:

(1)子集{1}∈K.

(2)每个π－Brauer特征标θY是δY的一个倍数..

(3)任意的φ∈I*(G)是某一个π－Brauer特征标θY的一个成分.

证明 注意到Iπ(G)是π－正则共轭类函数空间的一组基底并且子集Y∈Y是无交的，因此θY是线性无关的.设S是在子集K∈K上取常值的复值函数空间.因为所有的θY属于S并且|Y|=|K|，故{θY|Y∈Y}是空间S的一组基底［2］.

假设(1)成立，注意到ρ*在K的所有成员上去常值，于是存在适当的复数aY使得

因为Iπ(G)是线性无关的，且Y∈Y是两两无交的，从而对所有的Y∈Y，aYθY=δY，于是(2)得证.而且，通过比较次……