“动”中有“静” 以“静”制“动”

孟凡敏

有关动点问题是各地中考中的热点问题，而利用一元二次方程解决动点问题又是常见的题型之一，本文从教材中的一道例题出发加以拓展，说明此类问题的解决思路，供同学们学习参考.

原题呈现：

苏科版《数学》九年级上册第28页有这样一道例题：

问题：如图1，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动. 几秒钟后△DPQ的面积等于28 cm2？

本题的分析及解答过程见教材九年级上册第28页，在此不再赘述.

拓展一：有关函数关系式问题

（1） 设△BPQ的面积为S1，运动时间为t，求S1与t之间的函数关系式，并且指出t的取值范围；

（2） 设△DPQ的面积为S2，运动时间为t，求S2与t之间的函数关系式，并且指出t的取值范围.

【分析】用含有t的式子分别表示PB，BQ的长，再根据三角形的面积公式表示△BPQ的面积即可，对于（2）中S2的求法我们可以采取“割补”的方法，用矩形ABCD的面积减去△APD、△BPQ、△CDQ的面积，由于点P、Q在边AB、BC运动时间都为6 s，故t的范围不能超过6 s.

解：（1） 由于AP=t，所以BP=6-t，QB=2t，

S1=BP·BQ=（6-t）·2t=-t2+6t，t的取值范围是：0

（2） S2=SABCD-S△APD-S△BPQ-S△DCQ=6×12-×12·t-·（6-t）·2t-×6·（12-2t）=t2-6t+36，t的取值范围是：0≤t≤6.

【点评】此类求函数关系式的问题是中考中最常见的题型，解决此类问题的关键是用自变量表示相关线段的长，用面积计算公式建立关系，再进行化简得到函数关系式，并注意自变量的取值范围.

拓展二：有关图形面积问题

（1） 通过计算试说明在P、Q运动过程中，四边形PBQD的面积保持不变；

（2） 在运动过程中，求△DPQ面积的最小值.

【分析】可以将四边形PBQD的面积用含有t的式子表示出来，化简后若式子中不含有字母t，则说明在P、Q运动过程中四边形PBQD的面积保持不变. 对于（2）中△DPQ面积的最大值问题，由拓展一我们已经求出△DPQ面积与t的函数关系式，我们可以采取配方的方法求出其最小值.

解：（1） 由拓展一可知：

S四边形PBQD=S1+S2=-t2+6t+t2-6t+36=36.

故在P、Q运动过程中四边形PBQD的面积保持不变.

（2） 由拓展一可知：

S△DPQ=t2-6t+36=（t-3）2+27≥27.

故当t=3时，△DPQ面积有最小值，最小值为27.

【点评】解决图形面积的最值问题，往往是对表示面积的式子进行配方，求出其最值问题；若表示面积的式子中不含有字母，则说明图形的面积是一个常量，与点的运动无关.

拓展三：有关三角形问题

（1） 当t为何值时，△DPQ是等腰三角形；

（2） 当t为何值时，△DPQ是以DP为斜边的直角三角形.

【分析】（1） 题中没有指明哪个边与哪边相等，故应该分三种情况，分别是①DP=DQ，②DP=PQ，③PQ=DQ，从而求得所需的时间. （2） 可以通过勾股定理的逆定理建立方程，求出t的值.

解：（1） ①当DP=DQ时，DP2=DQ2，由勾股定理可得：122+t2=62+（12-2t）2.

解之得，t1=8+2>6（舍去），

t2=8-2.

②当DP=PQ时，DP2=PQ2，由勾股定理可得：

122+t2=（6-t）2+（2t）2.

解之得，t1=<0（舍去），

t2=>6（舍去）.

③当DQ=PQ时，DQ2=PQ2，由勾股定理可得：

62+（12-2t）2=（6-t）2+（2t）2.

解之得：t1=-18-6<0（舍去），

t2=-18+6.

综上所述：当t=8-2、t=-18+6时，△DPQ是等腰三角形.

（2） 由勾股定理的逆定理可知：

当DP2=PQ2+DQ2时，△DPQ是以DP为斜边的直角三角形，

则：122+t2=（6-t）2+（2t）2+62+（12-2t）2 .

解之得：t1=6，t2=.

所以，当t=6或时，△DPQ是以DP为斜边的直角三角形.

【点评】此题主要考查等腰三角形判定、勾股定理逆定理的运用及分类讨论思想.

综上所述，解决动点问题，关键是化动为静，根据具体问题把运动的点转化为静止的点. 求“动点的运动时间”往往可以转化为求“动点的运动路程”，也就是求线段的长度，再由图形的面积、勾股定理等建立方程求解，因此，学会把动的问题转化为静的问题是解决此类问题的关键.

小试身手

如图2，矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，求几秒时，五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？