对一维弹性碰撞问题的巧妙解答

沈向安

（金塔县中学 甘肃 酒泉 735300）

1 问题的提出

在各种版本的高中物理新课标教材选修3－5中都出现了对“一维弹性碰撞”（下文简称“弹性碰撞”）研究，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列出方程组，并给出了方程组的解，且对该解进行了讨论［1］.方程组的解答是该类问题解答的关键，然而这组方程除考查物理知识外，对学生的数学运算能力要求也很高.教参给出对该方程组通过因式分解后降次运算的解法［2］.但如果碰撞前两物体都有动能，则用教参给出的方法不能方便地解答［3］.在近几年的高考中也涉及到该类问题，如，2012年全国大纲卷理综第21题（选择题），2010年全国Ⅱ卷理综第25题（简答题），2007年宁夏卷理综第30题（选修3－5）.对于高考题而言，用通常方法解答既费时又易出错，对考生取得好的成绩不利.在笔者阅读过程中发现了一种简便解法现分享如下.

2 解答模型的推导

2.1 阅读的启示

笔者在阅读前苏联学者别莱利曼著的《趣味力学》第6章“碰撞”时获得了对该类问题解答的启示［4］.根据个人理解现将别莱利曼对完全弹性碰撞的观点显化如下.

如图1，两个质量分别为m1和m2的球分别以速度v10和v20在光滑水平面上向右运动，碰撞后两球粘在一起，以速度u运动.以向右为正方向，对两球由动量守恒定律，得

图1

得

如果v20向左，则该式写为

当上述两个球的碰撞是完全弹性碰撞时，在碰撞部位上不但发生凹陷，并且接着又会凸起来，恢复原来的形状.在凸起阶段，对于追撞的球1除在凹陷阶段已经失去了“一份速度”以外，还要再失去同样的“一份速度”.即，碰后球1速度为

若v11＞0，碰后球1向右运动；若v11＜0，碰后球1向左运动.

对于被追撞的球2除了在凹陷阶段已经增加了“一份速度”外，还要增加同样“一份速度”.即，碰后球2的速度为

对于方向讨论如碰后对球1的方法.

由上述可知，对于一维弹性碰撞中由动量守恒和机械能守恒列出的方程组可以用如下步骤解答.

先根据

求出假设两球粘在一起的共同速度，然后根据v11＝2u－v10和v21＝2u－v20可直接求出碰后各球的速度.

2.2 模型合理性的推导

上述弹性碰撞过程非常短暂，为了将上述观点进行科学推证，现把一维弹性碰撞过程分解成如图2所示的几个阶段［3］，图中为光滑水平面.这一过程分为压缩阶段（从刚开始接触到具有相同速度u），如图2（a）～（c）、恢复阶段（从具有相同速度u到再次分离），如图2（c）～ （e）［3，5］.

图2

以初速度方向为正方向，对从（a）到（c）过程，由动量守恒定律，得

解得

对于碰撞过程中球1分析.

在压缩阶段：失去一份动量

在恢复阶段：又失去一份动量

且 Δp＝Δp′［5］.

故在弹性碰撞过程中对于球1，碰撞后的动量为

上式消去m1，得

对于碰撞过程中球2分析.

因球1和球2在整个碰撞过程中动量守恒，故球1减少的动量全部增加在球2上，则有

又考虑到在压缩过程中，球1和球2组成的系统动量守恒，故球1减少的动量等于球2增加的动量，则

由此可知，对碰后球2，有

即

对上式消去m2得

由上述可知，从别莱利曼叙述中所得到结论的合理性.由此用笔者所得对该问题的解答方法可以避免了对二次方程的直接解答，降低了数学运算难度，更体现了物理思维.

2.3 解法示范

下面以高考题为例解答，近一步说明该方法的简捷性.

【例1】（2012年高考全国卷第21题）如图3，大小相同的摆球a和b的质量分别为m和3m，摆长相同，并排悬挂，平衡时两球刚好接触，现将摆球a向左边拉开一小角度后释放，若两球的碰撞是弹性的，下列判断正确的是

A.第一次碰撞后的瞬间，两球的速度大小相等

B.第一次碰撞后的瞬间，两球的动量大小相等

C.第一次碰撞后，两球的最大摆角不相同

D.发生第二次碰撞时，两球在各自的平衡位置

答案：选项A，D

图3

解：计算出两球碰后的速度是解答A，B，C三个选项的关键.设小球a与b相碰时a球速度为va0，碰后a和b球速度分别为va1和vb1.因为两球的碰撞是完全弹性碰撞，故由动量、能量都守恒，以向右为正.建立如下方程组

方程组解答如下

碰后a的速度为

碰后b的速度为

即向右运动.由此可以确定为选项A，进而可以计算选项B，C.选项D可用单摆模型确定.

【例2】（2010年高考全国Ⅱ卷第25题）小球A和B的质量分别为mA和mB，且mA＞mB.在某高度处将A和B先后从静止释放.小球A与水平面碰撞后向上弹回，在释放处下方与释放处距离为H 的地方恰好与正在下落的小球B发生正碰.设所有碰撞都是弹性的，碰撞时间极短.求小球A和B碰撞后B上升的最大高度.

解：因球A释放后与地面碰撞无能量损失，当弹回到距释放点下方H时，设速度大小为vA0，由能量守恒定律可得

即

由图4可知球A速度方向向上.

此刻球B也下落至该点，速度为

方向向下.

两球此刻发生弹性碰撞，组成系统的动量、机械能守恒，以向上为正方向（如图4），设碰后球A和B的速度分别为vA1和vB1，方向都向上.由动量守恒定律和机械能守恒定律，得

图4

对该方程组的解答如下

只要算出vB1就可以算出球B碰后上升的最大高度，则

由于mA＞mB，故vB1＞0，即碰后球B向上运动.

设碰后球B上升的最大高度为h，球B从碰后到上升到最高过程由动能定理得

由此解得

【例3】（2007年高考宁夏卷第30题）在光滑的水平面上，质量为m1的小球A以速率v0向右运动.在小球的前方O点处有一质量为m2的小球B处于静止状态，如图5所示.小球A与小球B发生正碰后小球A与B均向右运动.小球B被在Q点处的墙壁弹回后与小球A在P点相遇，PQ＝1.5PO.假设小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰撞都是弹性的，求两小球质量之比

图5

解：本题中球A和B组成系统动量、机械能守恒.以向右为正方向，设碰后球A和B速度分别为vA和vB，且均向右，有

对该方程组的解答如下

可见，碰后两球以vA和vB向右匀速运动，设经过时间t两球相遇P点，由运动学知识，得

由此可得

由以上几道高考题的运算可以明显体会到，用此种算法能使该方程组的运算量明显降低，该法能简捷、准确地解答此类问题，为考生赢得时间和解题质量.

1 人民教育出版社，课程高中物理教科书研究所.普通高中课程标准实验高中物理教科书物理·必修2.北京：人民教育出版社，2010.17～19

2 人民教育出版社，课程高中物理教科书研究所.普通高中课程标准实验教科书物理·选修3－5教师教学用书.北京：人民教育出版社，2010.18

3 胡坤，王绪荣.弹性碰撞的速度计算方法.科学咨询，2008（z1）：176

4 （苏联）别莱利曼著.趣味力学.符其珣译.北京：中国青年出版社，1956.93～95

5 杨波，曲忠敏.解答弹性碰撞问题的一种新方法.物理教师，2005，26（7）：64