三阶幻方的解法喻俊鹏

喻俊鹏

如图1的图案叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，

8，9。每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是15。

在如图1所示的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上9个数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，这样的图形叫做三阶幻方，相等的和叫做幻和。

1.幻和。由题设知图1中的幻和为15，它可以通过以下计算求出：

（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3=45÷3=15。

即幻和等于9个数的和的。

2.中心数。处于幻方最中间的数我们称为“中心数”。观察图1可知其中心数为5，其位置最为关键，因为它要分别与第二行、第二列以及两条斜对角线上的数进行求和运算，因此应首先确定中心数。中心数应如何确定呢？

如图2，经过幻方中心方格有4条虚线，每条虚线上的3个数之和都等于幻和。

所以4条虚线上的3个数之和=幻和×4。

又因为幻和×4=9个数之和+中心数×3（因为中心数重复了3次），

即幻和×4=幻和×3+中心数×3。

两边都减去幻和×3，得幻和=中心数×3。

所以中心数=幻和÷3=15÷3=5。

故图1中最中间方格中的数应为5。

3.四个角上的数。除了中心数外，我们发现幻方中4个角上的数也很重要，因为他们各自都要与一行、一列及一条对角线上的数进行求和运算。显然，只要中心数和4个角上的数确定了，则其他的数便可根据幻和来填写了。

如图1，在1至9的点数中，3个不同的点数相加等于15的有以下8种情形：

①9+5+1；②9+4+2；③8+6+1；④8+5+2；

⑤8+4+3；⑥7+6+2；⑦7+5+3；⑧6+5+4。

因此每行、每列以及每条对角线上的3个数可以是上述8个算式中任意一个算式中的3个数。但是，由于中心数是5，且4个角上的数要同时出现在3个算式中，所以符合条件的4个数只有2、4、6、8（注意：他们都是偶数位上的数）。将它们分别填在4个角上，其他的数就好填了。例如，图1中的点数就是一种填法。

要注意的是，虽然2、4、6、8填在4个角上可得到8种填法，但它们都可以看作是通过一个图的旋转和翻折得到的，因此只能看作是一种填法。

规律总结：根据上面对图1的分析与探究，对于三阶幻方这种填数游戏我们可得到以下规律：

（1）中心数=幻和÷3（一般就是这9个数从小到大排列后中间的那个数）。

（2）4个角上的数的确定：先将已知的9个数按从小到大的顺序排列起来，并编号1～9，则偶数位上的数就是4个角上的数。同时要注意，将编号为2、8号的数填在幻方的一条对角线上，编号为4、6号的数填在幻方的另一条对角线上。

（3）确定了中心数和4个角上的数之后，再根据幻和便可填写其他的数了。

牛刀小试

请在图3的空格中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和都等于48。

牛刀小试参考答案：为解题方便，我们可将图3幻方中其余空格内的数分别用字母来表示，如图4所示。

因为幻和是48，所以中心数E=48÷3=16。根据幻方图中已有数据可得到：

D=48-（18+16）=14；A=48-（14+19）=15；

G=48-（15+16）=17；C=48-（17+18）=13；

B=48-（13+15）=20；F=48-（20+16）=12。

按照以上数据，即可得到所求幻和为48的幻方如图5所示。

如图1的图案叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，

8，9。每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是15。

在如图1所示的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上9个数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，这样的图形叫做三阶幻方，相等的和叫做幻和。

1.幻和。由题设知图1中的幻和为15，它可以通过以下计算求出：

（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3=45÷3=15。

即幻和等于9个数的和的。

2.中心数。处于幻方最中间的数我们称为“中心数”。观察图1可知其中心数为5，其位置最为关键，因为它要分别与第二行、第二列以及两条斜对角线上的数进行求和运算，因此应首先确定中心数。中心数应如何确定呢？

如图2，经过幻方中心方格有4条虚线，每条虚线上的3个数之和都等于幻和。

所以4条虚线上的3个数之和=幻和×4。

又因为幻和×4=9个数之和+中心数×3（因为中心数重复了3次），

即幻和×4=幻和×3+中心数×3。

两边都减去幻和×3，得幻和=中心数×3。

所以中心数=幻和÷3=15÷3=5。

故图1中最中间方格中的数应为5。

3.四个角上的数。除了中心数外，我们发现幻方中4个角上的数也很重要，因为他们各自都要与一行、一列及一条对角线上的数进行求和运算。显然，只要中心数和4个角上的数确定了，则其他的数便可根据幻和来填写了。

如图1，在1至9的点数中，3个不同的点数相加等于15的有以下8种情形：

①9+5+1；②9+4+2；③8+6+1；④8+5+2；

⑤8+4+3；⑥7+6+2；⑦7+5+3；⑧6+5+4。

因此每行、每列以及每条对角线上的3个数可以是上述8个算式中任意一个算式中的3个数。但是，由于中心数是5，且4个角上的数要同时出现在3个算式中，所以符合条件的4个数只有2、4、6、8（注意：他们都是偶数位上的数）。将它们分别填在4个角上，其他的数就好填了。例如，图1中的点数就是一种填法。

要注意的是，虽然2、4、6、8填在4个角上可得到8种填法，但它们都可以看作是通过一个图的旋转和翻折得到的，因此只能看作是一种填法。

规律总结：根据上面对图1的分析与探究，对于三阶幻方这种填数游戏我们可得到以下规律：

（1）中心数=幻和÷3（一般就是这9个数从小到大排列后中间的那个数）。

（2）4个角上的数的确定：先将已知的9个数按从小到大的顺序排列起来，并编号1～9，则偶数位上的数就是4个角上的数。同时要注意，将编号为2、8号的数填在幻方的一条对角线上，编号为4、6号的数填在幻方的另一条对角线上。

（3）确定了中心数和4个角上的数之后，再根据幻和便可填写其他的数了。

牛刀小试

请在图3的空格中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和都等于48。

牛刀小试参考答案：为解题方便，我们可将图3幻方中其余空格内的数分别用字母来表示，如图4所示。

因为幻和是48，所以中心数E=48÷3=16。根据幻方图中已有数据可得到：

D=48-（18+16）=14；A=48-（14+19）=15；

G=48-（15+16）=17；C=48-（17+18）=13；

B=48-（13+15）=20；F=48-（20+16）=12。

按照以上数据，即可得到所求幻和为48的幻方如图5所示。

如图1的图案叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，

8，9。每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是15。

在如图1所示的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上9个数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，这样的图形叫做三阶幻方，相等的和叫做幻和。

1.幻和。由题设知图1中的幻和为15，它可以通过以下计算求出：

（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3=45÷3=15。

即幻和等于9个数的和的。

2.中心数。处于幻方最中间的数我们称为“中心数”。观察图1可知其中心数为5，其位置最为关键，因为它要分别与第二行、第二列以及两条斜对角线上的数进行求和运算，因此应首先确定中心数。中心数应如何确定呢？

如图2，经过幻方中心方格有4条虚线，每条虚线上的3个数之和都等于幻和。

所以4条虚线上的3个数之和=幻和×4。

又因为幻和×4=9个数之和+中心数×3（因为中心数重复了3次），

即幻和×4=幻和×3+中心数×3。

两边都减去幻和×3，得幻和=中心数×3。

所以中心数=幻和÷3=15÷3=5。

故图1中最中间方格中的数应为5。

3.四个角上的数。除了中心数外，我们发现幻方中4个角上的数也很重要，因为他们各自都要与一行、一列及一条对角线上的数进行求和运算。显然，只要中心数和4个角上的数确定了，则其他的数便可根据幻和来填写了。

如图1，在1至9的点数中，3个不同的点数相加等于15的有以下8种情形：

①9+5+1；②9+4+2；③8+6+1；④8+5+2；

⑤8+4+3；⑥7+6+2；⑦7+5+3；⑧6+5+4。

因此每行、每列以及每条对角线上的3个数可以是上述8个算式中任意一个算式中的3个数。但是，由于中心数是5，且4个角上的数要同时出现在3个算式中，所以符合条件的4个数只有2、4、6、8（注意：他们都是偶数位上的数）。将它们分别填在4个角上，其他的数就好填了。例如，图1中的点数就是一种填法。

要注意的是，虽然2、4、6、8填在4个角上可得到8种填法，但它们都可以看作是通过一个图的旋转和翻折得到的，因此只能看作是一种填法。

规律总结：根据上面对图1的分析与探究，对于三阶幻方这种填数游戏我们可得到以下规律：

（1）中心数=幻和÷3（一般就是这9个数从小到大排列后中间的那个数）。

（2）4个角上的数的确定：先将已知的9个数按从小到大的顺序排列起来，并编号1～9，则偶数位上的数就是4个角上的数。同时要注意，将编号为2、8号的数填在幻方的一条对角线上，编号为4、6号的数填在幻方的另一条对角线上。

（3）确定了中心数和4个角上的数之后，再根据幻和便可填写其他的数了。

牛刀小试

请在图3的空格中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和都等于48。

牛刀小试参考答案：为解题方便，我们可将图3幻方中其余空格内的数分别用字母来表示，如图4所示。

因为幻和是48，所以中心数E=48÷3=16。根据幻方图中已有数据可得到：

D=48-（18+16）=14；A=48-（14+19）=15；

G=48-（15+16）=17；C=48-（17+18）=13；

B=48-（13+15）=20；F=48-（20+16）=12。

按照以上数据，即可得到所求幻和为48的幻方如图5所示。