由形到理，架构思维桥梁

施凤

在教学中，笔者发现不少学生对“乘法分配律”的形式变化存在理解误区，他们通过对这个形式的简单模仿来直接做题计算。基于此，笔者从乘法分配律的“形”入手，重在引导学生理解“理”，引领学生实现由形到理的飞跃。

一、抓住内在“理”，理解外在“形”

乘法分配律沟通了乘法与加减法，是一种重要的运算模型，在小学数学中也是比较难以掌握的运算定律之一。这个定律的教学，关键在于引导学生通过不完全归纳法进行推理，吃透其中“分配”这个“理”，找到哪个是变的哪个是不变的“量”。为此，笔者先从情境设置入手，分层次设计问题，让学生根据问题发现规律所在：20名学生定做校服，上衣每件63元，下衣每件37元，全班一共需要多少钱？学生列出算式：63×20+37×20=2000（元）。这是先算出20件上衣的钱数，然后再算出20件下衣的钱数，上下衣总共需要的钱数加在一起，就是总钱数。还有一种算法：（63+27）×20=2000（元），这是算出一套的钱数，然后再算出20套的总钱数。接着进入第二个层次的引导：工人师傅开始做这套校服之前，需要一个样品，现在他使用的是这样一套样板（如图1），看看他做一套需要多少布料。

学生列式为（110+90）×100=2000（平方厘米），这是算出一套衣服的长度，然后乘宽（布料的宽度是不变的）；也有学生这样列式计算：110×100+90×100=2000（平方厘米），这是先算出上衣的用料，再算出下衣的用料，而后加起来就是一套衣服的用料。

在这个教学环节中，学生先从生活中的应用问题入手，能够容易地将（a+b） ×c这一“形”中的（a+b）理解为一套衣服的单价，数量c不变，这样可以将其转化为先算出上衣的价钱（ac），后算出下衣（bc）的价钱，这样一来，能够为学生下一步提出分配律的猜想积累表象，使其对这个分配规律中所具备的条件有深刻认知，为下一步的探究提供依据。

二、关注探究过程，重在方法指导

在上述两个应用例题中，学生发现无论是（63+27）×20，还是（110+90）×100，都符合一个规律，就是先算加法后算乘法（63+27）×20，得到的结果与先算乘法后算加法（63×20+27×20）是一样的。那么，是不是可以说，类似这样的算式都符合这样一个规律呢？学生以此提出猜想，为此笔者让学生进行正反两方面的验证：先任意举出例子，看看是否都是这样的结果。学生进行小组讨论，列出任意算式，结果验证都符合这样一个规律；但这还不能足以证明规律的唯一性，我让学生继续反证，证明列出的算式并不符合这个规律，结果反证不成立。这样学生一步步通过验证，证明了猜想的正确性。据此，学生对分配律的“形”与“理”获得了统一的认知，并将其抽象，用字母来表示这个规律（a+b）×c=a×c+b×c。

在以上环节中，笔者注重在指导学生从方法上验证猜想，首先不能随意举例，而是要符合“两个数之和乘第三个数”或者是符合“两个数分别乘第三个数再相加”这一特征，其次采用分类验证的方法，关注验证的典型性和特殊性，通过这样的引导，提高学生的探究能力。

三、感悟思想方法，说理提升思维

在小学数学教学中，限于小学生的认知水平，通常是教师推理、归纳验证为主要途径，学生获得“现成的规律”，但显然这样对学生的思维发展是不利的。为此，在教学“乘法分配律”中笔者尝试让学生自主说理，突破思维瓶颈，使其对分配律的抽象概念深入理解。

学生经历了规律猜想、规律验证之后，笔者引导学生进行规律概括得到结论，并在数形结合方面也有了直观的演示（如图2）。

学生以此理解分配律的含义：c组（a+b）可以分成c个a加c个b；而c个a加c个b则可以配成c组（a+b）。

此时学生的猜想、验证、探究能力一步步获得提高，教师再深入引导，回顾所学的知识进行拓展延伸：已学过的两位数乘一位数，能用乘法分配律来口算吗？长方形周长的计算方法你怎么算更简便？在加法中适用这个分配律，那么在减法中呢？如（28-8）×5可以写成（ ）×5-（ ）×5吗？学生验证发现，结果一样的，以此对分配律的外延有了理解：c组（a-b）可以分成c个a减去c个b，而c个a减去c个b可以配成c组（a-b）。那么，两个数的和或者差，是否可以拓展到三个数的和或者差、四个数的和或者差呢？学生的思维一旦被拓展开来，探究就变得轻松而有趣得多。◆（作者单位：江苏省海门市海南小学）

□责任编辑：刘 林endprint

在教学中，笔者发现不少学生对“乘法分配律”的形式变化存在理解误区，他们通过对这个形式的简单模仿来直接做题计算。基于此，笔者从乘法分配律的“形”入手，重在引导学生理解“理”，引领学生实现由形到理的飞跃。

一、抓住内在“理”，理解外在“形”

乘法分配律沟通了乘法与加减法，是一种重要的运算模型，在小学数学中也是比较难以掌握的运算定律之一。这个定律的教学，关键在于引导学生通过不完全归纳法进行推理，吃透其中“分配”这个“理”，找到哪个是变的哪个是不变的“量”。为此，笔者先从情境设置入手，分层次设计问题，让学生根据问题发现规律所在：20名学生定做校服，上衣每件63元，下衣每件37元，全班一共需要多少钱？学生列出算式：63×20+37×20=2000（元）。这是先算出20件上衣的钱数，然后再算出20件下衣的钱数，上下衣总共需要的钱数加在一起，就是总钱数。还有一种算法：（63+27）×20=2000（元），这是算出一套的钱数，然后再算出20套的总钱数。接着进入第二个层次的引导：工人师傅开始做这套校服之前，需要一个样品，现在他使用的是这样一套样板（如图1），看看他做一套需要多少布料。

学生列式为（110+90）×100=2000（平方厘米），这是算出一套衣服的长度，然后乘宽（布料的宽度是不变的）；也有学生这样列式计算：110×100+90×100=2000（平方厘米），这是先算出上衣的用料，再算出下衣的用料，而后加起来就是一套衣服的用料。

在这个教学环节中，学生先从生活中的应用问题入手，能够容易地将（a+b） ×c这一“形”中的（a+b）理解为一套衣服的单价，数量c不变，这样可以将其转化为先算出上衣的价钱（ac），后算出下衣（bc）的价钱，这样一来，能够为学生下一步提出分配律的猜想积累表象，使其对这个分配规律中所具备的条件有深刻认知，为下一步的探究提供依据。

二、关注探究过程，重在方法指导

在上述两个应用例题中，学生发现无论是（63+27）×20，还是（110+90）×100，都符合一个规律，就是先算加法后算乘法（63+27）×20，得到的结果与先算乘法后算加法（63×20+27×20）是一样的。那么，是不是可以说，类似这样的算式都符合这样一个规律呢？学生以此提出猜想，为此笔者让学生进行正反两方面的验证：先任意举出例子，看看是否都是这样的结果。学生进行小组讨论，列出任意算式，结果验证都符合这样一个规律；但这还不能足以证明规律的唯一性，我让学生继续反证，证明列出的算式并不符合这个规律，结果反证不成立。这样学生一步步通过验证，证明了猜想的正确性。据此，学生对分配律的“形”与“理”获得了统一的认知，并将其抽象，用字母来表示这个规律（a+b）×c=a×c+b×c。

在以上环节中，笔者注重在指导学生从方法上验证猜想，首先不能随意举例，而是要符合“两个数之和乘第三个数”或者是符合“两个数分别乘第三个数再相加”这一特征，其次采用分类验证的方法，关注验证的典型性和特殊性，通过这样的引导，提高学生的探究能力。

三、感悟思想方法，说理提升思维

在小学数学教学中，限于小学生的认知水平，通常是教师推理、归纳验证为主要途径，学生获得“现成的规律”，但显然这样对学生的思维发展是不利的。为此，在教学“乘法分配律”中笔者尝试让学生自主说理，突破思维瓶颈，使其对分配律的抽象概念深入理解。

学生经历了规律猜想、规律验证之后，笔者引导学生进行规律概括得到结论，并在数形结合方面也有了直观的演示（如图2）。

学生以此理解分配律的含义：c组（a+b）可以分成c个a加c个b；而c个a加c个b则可以配成c组（a+b）。

此时学生的猜想、验证、探究能力一步步获得提高，教师再深入引导，回顾所学的知识进行拓展延伸：已学过的两位数乘一位数，能用乘法分配律来口算吗？长方形周长的计算方法你怎么算更简便？在加法中适用这个分配律，那么在减法中呢？如（28-8）×5可以写成（ ）×5-（ ）×5吗？学生验证发现，结果一样的，以此对分配律的外延有了理解：c组（a-b）可以分成c个a减去c个b，而c个a减去c个b可以配成c组（a-b）。那么，两个数的和或者差，是否可以拓展到三个数的和或者差、四个数的和或者差呢？学生的思维一旦被拓展开来，探究就变得轻松而有趣得多。◆（作者单位：江苏省海门市海南小学）

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在教学中，笔者发现不少学生对“乘法分配律”的形式变化存在理解误区，他们通过对这个形式的简单模仿来直接做题计算。基于此，笔者从乘法分配律的“形”入手，重在引导学生理解“理”，引领学生实现由形到理的飞跃。

一、抓住内在“理”，理解外在“形”

乘法分配律沟通了乘法与加减法，是一种重要的运算模型，在小学数学中也是比较难以掌握的运算定律之一。这个定律的教学，关键在于引导学生通过不完全归纳法进行推理，吃透其中“分配”这个“理”，找到哪个是变的哪个是不变的“量”。为此，笔者先从情境设置入手，分层次设计问题，让学生根据问题发现规律所在：20名学生定做校服，上衣每件63元，下衣每件37元，全班一共需要多少钱？学生列出算式：63×20+37×20=2000（元）。这是先算出20件上衣的钱数，然后再算出20件下衣的钱数，上下衣总共需要的钱数加在一起，就是总钱数。还有一种算法：（63+27）×20=2000（元），这是算出一套的钱数，然后再算出20套的总钱数。接着进入第二个层次的引导：工人师傅开始做这套校服之前，需要一个样品，现在他使用的是这样一套样板（如图1），看看他做一套需要多少布料。

学生列式为（110+90）×100=2000（平方厘米），这是算出一套衣服的长度，然后乘宽（布料的宽度是不变的）；也有学生这样列式计算：110×100+90×100=2000（平方厘米），这是先算出上衣的用料，再算出下衣的用料，而后加起来就是一套衣服的用料。

在这个教学环节中，学生先从生活中的应用问题入手，能够容易地将（a+b） ×c这一“形”中的（a+b）理解为一套衣服的单价，数量c不变，这样可以将其转化为先算出上衣的价钱（ac），后算出下衣（bc）的价钱，这样一来，能够为学生下一步提出分配律的猜想积累表象，使其对这个分配规律中所具备的条件有深刻认知，为下一步的探究提供依据。

二、关注探究过程，重在方法指导

在上述两个应用例题中，学生发现无论是（63+27）×20，还是（110+90）×100，都符合一个规律，就是先算加法后算乘法（63+27）×20，得到的结果与先算乘法后算加法（63×20+27×20）是一样的。那么，是不是可以说，类似这样的算式都符合这样一个规律呢？学生以此提出猜想，为此笔者让学生进行正反两方面的验证：先任意举出例子，看看是否都是这样的结果。学生进行小组讨论，列出任意算式，结果验证都符合这样一个规律；但这还不能足以证明规律的唯一性，我让学生继续反证，证明列出的算式并不符合这个规律，结果反证不成立。这样学生一步步通过验证，证明了猜想的正确性。据此，学生对分配律的“形”与“理”获得了统一的认知，并将其抽象，用字母来表示这个规律（a+b）×c=a×c+b×c。

在以上环节中，笔者注重在指导学生从方法上验证猜想，首先不能随意举例，而是要符合“两个数之和乘第三个数”或者是符合“两个数分别乘第三个数再相加”这一特征，其次采用分类验证的方法，关注验证的典型性和特殊性，通过这样的引导，提高学生的探究能力。

三、感悟思想方法，说理提升思维

在小学数学教学中，限于小学生的认知水平，通常是教师推理、归纳验证为主要途径，学生获得“现成的规律”，但显然这样对学生的思维发展是不利的。为此，在教学“乘法分配律”中笔者尝试让学生自主说理，突破思维瓶颈，使其对分配律的抽象概念深入理解。

学生经历了规律猜想、规律验证之后，笔者引导学生进行规律概括得到结论，并在数形结合方面也有了直观的演示（如图2）。

学生以此理解分配律的含义：c组（a+b）可以分成c个a加c个b；而c个a加c个b则可以配成c组（a+b）。

此时学生的猜想、验证、探究能力一步步获得提高，教师再深入引导，回顾所学的知识进行拓展延伸：已学过的两位数乘一位数，能用乘法分配律来口算吗？长方形周长的计算方法你怎么算更简便？在加法中适用这个分配律，那么在减法中呢？如（28-8）×5可以写成（ ）×5-（ ）×5吗？学生验证发现，结果一样的，以此对分配律的外延有了理解：c组（a-b）可以分成c个a减去c个b，而c个a减去c个b可以配成c组（a-b）。那么，两个数的和或者差，是否可以拓展到三个数的和或者差、四个数的和或者差呢？学生的思维一旦被拓展开来，探究就变得轻松而有趣得多。◆（作者单位：江苏省海门市海南小学）

□责任编辑：刘 林endprint