计及定子开槽的插入式永磁电机转子偏心空载气隙磁场全局解析迭代模型

周晓燕 章跃进 李 琛 仇志坚

（1.青岛理工大学自动化工程学院 青岛 266033 2.上海大学机电工程与自动化学院 上海 200072）

1 引言

本文研究的插入式永磁电机定转子开槽，转子上的永磁体沉入转子槽内，且极性相同。相邻永磁体之间为铁心凸极，在永磁体的磁化作用下，呈现出与永磁体相反的极性，从而构成铁极与永磁极交替出现的结构。研究表明此种电机结构具有悬浮和旋转自解耦的优良属性[1-8]。但是该结构使得这种电机气隙磁场的分布更为复杂，尤其增加了转子偏心气隙磁场的计算难度。

目前插入式永磁电机电磁场计算的研究主要采用有限元法[4-8]，有限元法计算精度高，但在偏心量发生变化后，必须重新剖分，使用不够方便；并且计算过程中需要良好的网格剖分保证其高计算精度；有限元法计算偏心力，一般采用虚位移法和麦克斯韦张量法。虚位移法计算比较繁琐；而麦克斯韦张量法计算偏心力时，气隙中的线积分路径需穿过许多有限元网格，网格的品质及从何处穿过网格单元都会对计算结果产生影响[9,10]。较之有限元法，解析法参数调整方便，能快速计算不同转子位置下的气隙磁场，解析表达式能直接反映磁场分布与各参数之间的关系，并且避免了计算偏心力时有限元法在剖分网格和曲面位置选择上的不足。

目前，摄动法在表贴式永磁电机偏心磁场解析分析中取得了较好效果[11-14]。摄动法又称小参数展开法。选择一个能反映物理特征的无量纲小参数作为摄动量（这里为偏心率），然后假设解可以按小参数展开成幂级数，将这一形式级数代入无量纲方程后，可得各级近似方程，依据这些方程可确定幂级数的系数，对级数进行截断近似，便得到原方程的渐进解。文献[11]应用摄动法求解忽略定子槽影响的表贴式永磁电机偏心电磁场问题，文献[12-14]提出了考虑定子槽影响的表贴式永磁电机气隙磁场解决方案，以上电机由于永磁体贴在转子表面，仅有定子开槽，故其偏心解析计算相对简单，而插入式永磁电机由于永磁体沉入转子槽内，故需要考虑定子和转子两方面开槽的影响，因此其解析计算模型比较复杂，求解困难。

本文利用解析迭代法研究定子开槽插入式永磁电机转子偏心气隙磁场分布，电机模型如图1 所示，4 块N 极充磁的永磁体沉入转子槽内，模型分成3个区域:气隙，永磁体和定子槽，Rs、Rr分别为定子内径、转子外径，Rsy为定子槽底半径，Rm为永磁体半径，气隙g=Rs-Rr，a 为永磁体宽度角，永磁体厚度hm=Rr-Rm，β为定子槽宽度角。本文分别经过以下三步求解该交替极电机的全局解析模型:①假设定子表面光滑，求解域分为永磁体和非均匀气隙两部分，应用摄动法计算转子偏心情况下的气隙磁场分布:将矢量磁位用摄动级数表示，并取级数的前两项零阶和一阶近似，结合零阶和一阶边界条件，得到此时的气隙磁场分布；②求解域为定子槽和局部气隙区域，利用以上的计算结果确定边界条件，得到考虑定子开槽影响的磁场分布；③获得定子开槽后的边界条件，再次计算。经多次迭代，得到最终解。

图1 插入式永磁电机全局模型Fig.1 Insert permanent magnet global model

2 定子无槽、转子偏心气隙磁场模型

2.1 模型

图2 所示为该电机定子无槽、转子偏心模型。求解区域分成非均匀气隙区域和永磁体区域两部分。其中转子轴心为Or，定子轴心为Os。d 为转子和定子轴心的偏心距离，φ 为Os和Or的连线与极轴的夹角，即偏心角。转子轴心为坐标原点，偏心率定义为

式中 Rs——定子内半径。

图2 定子无槽、转子偏心模型Fig.2 Insert permanent magnet with rotor eccentricity and slotless

为简化计算，对模型做如下假设:①转动过程中定转子轴心保持平行；②定转子铁心磁导率无穷大；③忽略涡流和饱和效应；④永磁体相对磁导率μr=1。

2.2 偏微分方程和边界条件

在极坐标系下，气隙区域和永磁体区域矢量磁位拉普拉斯方程和泊松方程如下:

其中，永磁体磁化如图3 所示，对磁化强度M进行傅里叶分解[16]，得

Br——永磁体剩磁；

p——极对数；

μ0——空气磁导率；

j——第j 块永磁体；

m——永磁体区域的谐波次数；

a——永磁体宽度角。

图3 永磁体充磁Fig.3 Radial magnetization

两个区域磁通密度和磁场强度的关系为[17]

在极坐标系下，磁场强度表达式为[17]

式中，i=1 表示气隙域，i=2 表示永磁体域。

定子与气隙交界面边界条件描述为[11]

式中 n——边界上的单位法向矢量。

根据摄动法，极坐标系下定子内径圆轨迹为[15]

在图2 所示坐标系下，可以表示为[11]

因此，定子内圆边界可以表示为

经过矢量运算，定子内径边界条件可以写成

其他边界如下:

式中 θj——第j 块永磁体位置。

根据摄动理论，矢量磁位A 可以写为

将式（26）和式（27）代入边界式（19）中，并应用泰勒级数在Rs处展开得

将式（25）代入式（2）、式（3）中得到零阶矢量磁位A 的偏微分方程如下:

将式（29）、式（30）代入边界式（20）～式（24）中，可得零阶边界条件为

同理可得一阶偏微分方程和边界条件如下:

分别求解零阶方程组式（29）～式（35）和一阶方程组式（36）～式（42）即可得零阶和一阶解。

2.3 求解零阶方程组

根据式（29）～式（35），气隙区域和第j 块永磁体区域的零阶通解可以写为[16]

最后，可以得到气隙区域零阶磁通密度分别为

2.4 求解一阶方程

根据方程式（36）～式（42），气隙和永磁体区域的一阶矢量磁位A 的通解可写成

将式（45）、式（46）和式（49）、式（50）代入摄动方程中，得到考虑转子偏心气隙磁通密度和气隙磁位分布如下:

3 定子开槽模型

建立如图4 所示模型，定子圆心为坐标原点，转子坐标和定子坐标关系如下[11]:

图4 定子开槽模型Fig.4 model with stator slot

模型分为两个区域:气隙和定子槽，分别建立气隙和第h 个槽拉普拉斯方程为

气隙通解为

第h 个槽通解为[16]

式中 k——槽区域谐波次数。

取气隙中半径Rg，其磁位值作为开槽模型的边界条件为

其他边界条件为

4 迭代修正

取定子开槽模型中气隙圆周Rg1上的磁位值，作为图5 所示模型的边界条件，模型的方程、通解和其他边界条件见式（29）、式（30）、式（32）～式（35）和式（43）、式（44），可以得到此时的气隙磁位分布，将此磁位值作为定子开槽模型的边界条件，重复进行式（56）～式（62），如此迭代反复，设前后两次计算结果的误差为

式中 nn——气隙域圆周上的计算磁位点数；

图5 迭代模型Fig.5 Iteration model

考虑工程允许范围，本文取δ=3%，视为迭代结束，此时可得最终气隙磁场分布。

根据气隙磁场分布可以得到偏心力和转矩[17]为

式中 Lef——电机铁心长。

5 与有限元分析结果比较

为检验插入式永磁电机转子偏心气隙磁场全局解析模型的准确性，本文使用Ansoft 有限元分析软件，对一台4 对极21 槽插入式永磁电机[7]二维建模，采用分数槽是为了增加极槽数的最小公倍数，抑制双边开槽结构的齿槽定位转矩。将有限元分析结果与解析计算结果的磁通密度波形和偏心力作比较。电机模型参数见表1。

图6 为d=0.08mm 时气隙磁通密度解析结果和有限元计算结果的对比。由图可知，气隙磁通密度的解析结果与有限元分析结果相吻合，验证了解析模型计算气隙磁通密度的准确性。图7 为d=0.16mm时气隙磁通密度解析结果和有限元计算结果的对比。同样，解析结果逼近有限元分析结果。

表1 电机模型参数Tab.1 Parameters of the motor model

图6 气隙磁通密度比较（d=0.08mm）Fig.6 FEM and analytical predicted flux density waveforms（d=0.08mm）

图7 气隙磁通密度比较（d=0.16mm）Fig.7 FEM and analytical predicted flux density waveforms（d=0.16mm）

不同偏心距离情况下偏心力解析结果和有限元分析结果及其相对误差见表2。比较结果表明:偏心力的解析结果与有限元分析结果的相对误差在4%以内，表明本文提出的插入式永磁电机转子偏心全局解析模型在计算偏心力时的准确度。

表2 偏心力解析解与有限元解比较Tab.2 The eccentricity force

图8 和图9 分别为偏心距离d=0 和d=0.16mm时齿槽转矩的解析解波形和有限元波形的比较结果。该电机在不偏心情况下齿槽转矩幅值为±0.128N·m，在偏心距离为0.16mm 时齿槽转矩幅值为+0.138N·m 和-0.186N·m，两种偏心情况下解析结果逼近有限元结果。

图8 齿槽转矩比较（d=0）Fig.8 FEM and analytical predicted cogging torque（d=0）

图9 齿槽转矩比较（d=0.16mm）Fig.9 FEM and analytical predicted cogging torque（d=0.16mm）

6 结论

本文建立了插入式永磁电机转子偏心全局解析迭代模型，忽略饱和作用，采用摄动方法推导并得到了定子无槽转子偏心气隙磁场分布，并用解析迭代法考虑定子开槽的影响。气隙磁通密度和齿槽转矩的解析结果与有限元分析结果相吻合，计算偏心力的相对误差在4%之内，比较结果证明了该电机转子偏心全局解析模型的正确性和有效性。该模型参数修改方便，能够方便地计算各种转子位置和偏心参数情况下电机的磁场分布。

附录 A

将式（43）代入式（38）的右边并应用泰勒级数展开，与方程左边比较可得

将式（48）代入式（39）中得

对边界式（40）、式（41）应用傅里叶级数展开可得

对永磁体边界式（42）应用傅里叶级数展开得

附录 B

将式（53）、式（58）代入边界式（60）中，并应用傅里叶级数得

将式（58）、式（59）代入边界式（61）中，应用傅里叶级数得

将式（58）、式（59）代入边界式（62）中，对每槽积分得

根据式（B1）～式（B5）可以得到系数An-Dn的表达式为

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