惠斯通电桥实验中对互易桥臂测量结果的不确定度评定

原 媛，沈元华，赵在忠，金浩明，马秀芳，孙燕青，马世红

（复旦大学 物理学系 物理教学实验中心，上海200433）

1 引 言

惠斯通电桥是一种利用比较法精确测量电阻的电路，用惠斯通电桥测电阻值的实验在很多大学都有开设.桥臂标称值RA和RB相等时，为了消除桥臂电阻标称值与实际值之间的偏差引起的系统误差，实验过程中常常采用互易桥臂的方法，以达到消除桥臂电阻系统误差的目的［1-2］.以往的教学过程中常常从不确定传递公式出发对互易桥臂的测量结果进行不确定度的评定，这种方法我校已经沿用了几十年，不少兄弟院校也使用类似的方法.但笔者在最近的教学研讨中发现，过去教学中一般采用的不确定度评定方法是不合理的，这牵涉到关于不确定度评定的一些基本概念.本文结合具体实例讨论了这一问题，给出了合理的不确定度评定方法，并指出过去常用方法错误的原因.

2 实验原理

基本电桥电路如图1所示.图中标准电阻RA和RB的值已知，且桥臂比例RA:RB≈1:1，调节电阻箱RS的值，使得桥上流过灵敏电流计G的电流为零，此时电桥达到平衡，平衡方程为

保持RX和RS的位置不变，互易RA和RB的位置，分别测出互易前、后电桥平衡时桥臂电阻RS的示值RS1和RS2，由（1）式可以得到互易前待测电阻的阻值为

图1 惠斯通电桥基本电路

互易后待测电阻的阻值为

由（2）式和（3）式可以得到待测电阻的阻值为［2］

3 互易桥臂不确定度评定的常用方法

以下给出2种对互易桥臂测量结果进行不确定度评定的方案：一种是笔者实验教学中一贯采用的方案；另一种是文献［3］中给出的方案.这2种方案是多年来被大家所认可的关于互易桥臂测量结果不确定度评定的方法.

3.1 方案一

将（4）式代入传递公式可以得到：

而测量结果RS1和RS2的标准不确定度则由不确定度合成公式u（x）＝得到，对于B1类测量不确定度在教学中常取uB1（RSi）＝，其中ΔRSi为灵敏电流计指针偏离平衡位置Δθ格时电阻箱RSi的改变量；而B2类仪器不确定度则由电阻箱所示最大误差限（不确定度限值）aRSi来确定所以（5）式可以重新写为

分别计算互易前后RS1和RS2的不确定度并代入（6）式，即可得到待测量RX的不确定度.

3.2 方案二

在文献［4］中，作者讨论了单次测量时惠斯通电桥的B类不确定度，并给出了互易桥臂测量结果的总的测量不确定度：它包括了RS1和RS2的测量误差，以及在2次测量中电桥灵敏度引起的测量误差，相对不确定度的具体表达式为

其中，uSi是电阻RSi的量值误差，它由电阻箱铭牌所示最大误差限aRSi确定；sri是电桥的相对电阻灵敏度，定义为在电桥平衡条件下比较臂电阻RS变动ΔRS时，灵敏电流计指针偏离平衡位置n格，即sri＝；0.2格是文献中给出的眼睛能觉察的灵敏电流计指针的最小偏转量.

为了方便比较2种方法的结果，在（6）式和（7）式中，将平衡电桥能灵敏电测到的灵敏电流计指针偏离平衡位置的最小格数统一为0.1格.（具体检查方法是在接通和断开开关S2时，观察灵敏电流计的指针是否有微小的颤动）.因此（7）式可重新写为

为了使得讨论更加具体，下面给出具体实例的不确定度评定结果.

4 实验结果及常用不确定度评定方法的实例

4.1 实验仪器

ZX21A型电阻箱，2kΩ左右的定值电阻，85C1型灵敏电流计，直流稳压电源，以及导线、开关等元件.ZX21A型电阻箱各挡阻值的相对不确定度如表1所示.

表1 ZX21A型电阻箱技术指标

ZX21A型电阻箱的铭牌上还给出了零值电阻（20±10）mΩ，考虑到待测电阻的阻值为2kΩ左右，如此小的零值电阻对测量结果的修正可以忽略不计，因此在不确定评定中也不必考虑其影响，故对电阻箱某示值Ri的不确定度限值aRi为

式中aRi单位为Ω，ni为第i个电阻盘上的读数.

4.2 实测结果及不确定度评定

实验测得的结果如表2所示，其中RA，RB和RS分别是平衡时3个桥臂的阻值，RS′是灵敏电流计偏离平衡状态一格时桥臂电阻RS的阻值，δRS＝RS′-RS.

表2 实测数据（RA＝RB＝43.0Ω，电源电压ε＝9.00V）

由（4）式可得待测电阻的阻值为

利用表2测得的原始数据可以得到：

将（11）式的计算结果代入（6）式，得到测量结果RX的不确定度为：

其中，u（RS1）＝u（RS2）＝1.45Ω.

进一步将（11）式代入（8）式可以得到：

比较2种方案的计算结果可以看到，计算结果是完全相同的；从其一般表达式（6）式和（8）式也可以看到，2种方案的核心思想是相同的，都利用了不确定度的传递公式，即在计算互易桥臂测量结果的不确定度时都把桥臂电阻RS1和RS2当作2个独立测量量来处理.

5 对上述常用不确定度评定方法的讨论与分析

按照上述2种评定方法，待测电阻RX的不确定度为1.0Ω，比标准电阻RS本身的不确定度（1.45Ω）要小，甚至比仪器不确定度（1.26Ω）还要小，这显然是不合理的.我们认为，不确定度传递公式在这里是不适用的：不确定度传递公式使用的条件是公式中各直接测量量之间相互独立，但在RS1和RS2并不是相互独立的：它们是同一个待测量用同一个标准量具在2次不同条件下比较的结果.因此，在互易桥臂实验中，RX的不确定度不应由RS1和RS2的不确定度传递得到，而应该由B1类测量不确定度和B2类仪器不确定度2部分合成而得.其中，前后2次互易桥臂的测量中，由电桥灵敏度引起的B1类测量不确定度uB1（RS1）和uB1（RS2）之间是完全独立的（可能一次偏大而另一次偏小），因此测量结果的B1类测量不确定度应该由二者按方和根合成法得到，即：

而前后2次实验使用的是同一标准量具（其不确定度不可能一次偏大而另一次偏小），因此测量结果的B2类仪器不确定度就等于2次仪器不确定度和的一半，也就是说近似等于标准电阻RS的B2类不确定度，即：

故可得到测量结果RX的合成标准不确定度为：

从数据结果可以看出：

对上述结果的定性分析：测量结果RX的不确定度（1.36Ω）大于标准电阻RS的仪器不确定度（1.26Ω），这是因为u（RX）中还包含有测量过程的其他不确定度分量；但又略小于标准电阻RS的标准不确定度（1.45Ω），因为通过2次测量，降低了由于比率臂电阻比的误差影响而引入的测量不确定度.因此，认为这样的不确定度评定是合理的.实际上，这种评定方法在物理测量中是具有一定普遍性的，比如在使用物理天平或分析天平测量物体质量时，为了测量更精密，经常会用复称法来消除天平不等臂引入的系统误差［5］，而对其测量结果进行不确定度评定时，也不应该采用不确定度的传递方法，而上述给出的评定方法是完全适用的.

6 结束语

过去在教学中常用的对互易桥臂法测量电阻（桥臂标称值RA和RB相等）的不确定度评定方法是错误的，其结果比标准电阻的标准不确定度还小，显然不合理.究其原因，是因为互易桥臂的前后2次测量不是完全独立的，它们是同一待测量用同一仪器以不同方法测量的结果.因此，不可使用一般的不确定度的传递公式.我们给出了一种合理的评定方法：测量结果的不确定度由B1类测量不确定度和B2类仪器不确定度合成，其中B1类测量不确定度由2次测量的B1类不确定度通过方和根合成法得到（前后2次对电桥平衡的判断完全独立），而B2类仪器不确定度近似等于标准电阻的仪器不确定度（前后2次测量所用的标准电阻仪器相同、阻值略有微小差别）.

致谢：本文的作者与清华大学物理学系朱鹤年教授进行过多次有益的讨论和交流，得到许多帮助，在此深表谢意.

［1］沈元华，陆申龙.基础物理实验［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］贾玉润，王公治，凌佩玲.大学物理实验［M］.上海：复旦大学出版社，1987：218-221.

［3］朱鹤年.物理实验研究［M］.北京：清华大学出版社，1994：151-163.

［4］陈西园，徐铁军，高文贵.惠斯登电桥测电阻实验的不确定度分析［J］.大学物理实验，2000，13（2）：53-55.

［5］蔡秀峰.复称法在精密称衡时的作用［J］.物理教学探讨，2003，21（187）：33-34.

［6］朱鹤年.新概念·基础物理实验讲义［M］.北京：清华大学出版社，2013.