莫让浮云遮望眼 除尽繁华识真颜

数学本质就是用数学的眼光认识世界，揭示数学规律，总结数学方法，形成数学思想，提炼数学精神，并从上述活动中得到思想、心灵的升华. 在数学学习的过程中，若能重视对问题背后的数学本质的追溯，无疑能有效提高学习的效率，培养数学意识与数学能力.

本文从一道高考试题出发，追根溯源，努力去洞察、揭示一类高考试题的本质.

春雨断桥人难渡：

一道高考试题的思考历程

题1？摇（2009年高考上海卷）已知函数f（x）=sinx+tanx，项数为27的等差数列an满足an∈-，，且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，则当k=________时， f（ak）=0.

上海作为我国高中教育与高考改革的试验田，其高考试题年年有创意，且内涵丰富. 比如此题，从题面看，等差数列镶嵌在函数问题中，新意十足. 此前有作者给出如下解析：

因为函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，所以其图象关于原点对称，且图象过原点.

又因为f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，所以k=14.

这实在让人如坐云雾中，“f（a14）=0”是如何得出的？上述解答的根据在哪儿？

根据经验，题设条件“f（a1）+f（a2）+

…+f（a27）=0”的利用，不太可能考虑将a1，a1，…，a27代入函数解析式f（x）=sinx+tanx，那么，该如何将此函数与等差数列结合起来？也许应该去考虑函数f（x）=sinx+tanx的性质：奇函数， f（0）=0，且在区间-，上单调递增.

又考虑到{an}为等差数列，故由f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0得f（a14-13d）+…+f（a14-d）+f（a14）+f（a14+d）+

…+f（a14+13d）=0.

假设a14>0，则f（a14-13d）+…+f（a14-d）+f（a14）+f（a14+d）+…+f（a14+13d）>f（-13d）+…+f（-d）+f（0）+f（d）+

…+f（13d）=0，与题意矛盾;

假设a14<0，则f（a14-13d）+…+f（a14-d）+f（a14）+f（a14+d）+…f（a14+13d）

…+f（13d）=0，也与题意矛盾.

综上，a14=0，故f（a14）=0.

看似一道小小填空题，其实并不简单！本题巧妙地将等差数列与函数的奇偶性、单调性融为一体，解题突破口隐藏得深，不易寻找合适的切入点，同时对推理论证的能力有相当高的要求，给人一种“山重水复疑无路”、“春雨断桥人难渡……