3UPS-S并联机构单支链驱动奇异分析

韩先国 刘岩龙

(北京航空航天大学 机械工程及自动化学院，北京100191)

随着并联机构理论研究的发展与成熟，并联机构的应用领域越来越广泛，包括并联机床［1－2］、并联转台［3］、装配对接机构［4－5］等.并联机构是一种由多个并行支链构成的闭环系统，与传统串联机构相比，具有高刚度、高精度、高承载能力、结构简单等优点［6－7］.

然而并联机构也有缺点，奇异问题就是广泛存在于并联机构中的一个固有难题，常见的有工作空间的位姿奇异和边界奇异［8］.当并联机构发生位姿奇异时，锁定所有支链的驱动，动平台仍具有一个特定的瞬时螺旋运动，并联机构会发生失控的危险;当发生边界奇异时，并联机构会失去某个方向的运动自由度，此时无论多大的输入驱动，都不能使动平台产生运动，并联机构到达位姿空间边界.

目前已经有大量文献研究了工作空间的奇异问题［9－10］，但已有的研究成果主要是从动平台工作空间来分析奇异问题，很少有文献从并联机构支链的输入空间对奇异问题进行研究.因此本文通过对3UPS-S并联转台单支链驱动问题进行分析，研究了并联机构的输入空间奇异问题，发现单支链驱动奇异即为位姿奇异，给出了并联机构输入空间边界的定义，最后确定了并联机构单支链归零的一般策略.

1 问题提出

为实现空间3自由度的转动功能，设计了一种3UPS-S并联转台，用于运动姿态模拟，其结构形式如图1所示.该机构由动平台、静平台、中间支撑立柱和3个UPS支链组成，支链与静平台通过虎克铰U连接，与动平台通过球铰S连接，支链中间有移动副P.支撑立柱与动平台通过球铰连接，与静平台固连.

图1 3UPS-S并联转台原理图

给定动平台的目标位姿，利用位置反解算法可以得到各支链的驱动杆长，通过驱动3个支链的移动副，改变支链杆长，对动平台进行运动控制;已知各支链杆长时，利用位置正解算法可以求出动平台的位姿角，再进行驱动控制.但是当遇到突发情况，比如突然断电，系统重启后，丢失支链杆长值信息，又没有动平台的位姿角度，无法对并联转台进行运动控制.

发生这种情况时，需要进行各支链归零，就是使支链回到初始杆长.在支链移动副中有零位开关，驱动支链伸缩到达零位开关，就实现了支链归零.目前的归零方法是固定2个支链杆长不变，单独对第3个支链杆长进行调整，多次调整单支链杆长完成归零.这种调整方法存在问题是，当固定2个支链杆长时，第3支链杆长无法实现全行程，在运动到某个杆长值后受到系统结构约束就无法再驱动，下面分析产生这种问题的原因.

2 单支链驱动的运动分析

2.1 利用旋量互易积求解动平台角速度

在并联机构动平台处于某个位姿时，固定2个支链杆长不变，分析第3个支链以及动平台的运动特点，如图2所示.

图2 并联机构单支链运动分析

支链对动平台的作用力为 Fi(i=1，2，3)，对动平台中心取矩为Ri×Fi，则支链对动平台的力矢为(Fi，Ri× Fi)，改写为 fi(li，Ri× li)，其中 fi表示支链力数值，li表示支链方向向量.动平台转动角速度为ω，由于中间支撑立柱的约束，不能移动，因此动平台的运动螺旋可表示为 =(ω，0).

支链1和支链2杆长固定，其支链力矢只对动平台产生约束作用，对动平台运动螺旋做功为零，因此支链1和2力矢与动平台运动螺旋互易积为零，即

展开为

支链力不为0，将上式化简为

即

该齐次线性方程组只有2个方程，求解动平台角速度向量ω会有无穷多解，取其模长为1的基础解ω0作为动平台角速度方向向量.

接下来可以求出球铰A3的速度方向向量

将vA3向支链3投影，得到沿支链轴向驱动速度:

该投影值v3的物理含义为:动平台的速度矢量模长为1时，支链3需要的驱动速度值.当支链3轴向速度v3≠0时，支链3可以伸缩运动;如果v3=0，则球铰速度vA3垂直于支链l3，支链3不能进行伸缩运动，即支链3受到结构约束无法驱动.

2.2 计算实例

将上述分析结果应用于3UPS-S并联机构，动平台的工作空间用ZXZ欧拉角描述，具体为进动角 ψ =0～360°，章动角 θ=0～54°，自旋角 φ =－ψ，反解计算出3个支链的行程:

各支链的零位姿初始杆长值分别为

使支链1和2保持零位姿杆长值，支链3杆长为

其中ΔL表示支链3杆长变化量，其取值范围为－86～86 mm，即动平台实现工作空间时支链的全行程.进行支链3轴向速度计算的流程图如图3所示.

图3 计算流程图

从图4的曲线可知，当支链3杆长变化量为－28 mm时，支链3的轴向驱动速度v3=0，此时支链3不能再进行驱动，因此支链3可驱动的杆长变量范围为－28～86 mm.

图4 支链3球铰速度方向向量沿支链轴向分量

2.3 单支链驱动特点

固定3UPS-S并联转台的2个支链，只对第3个支链进行驱动时，由于结构限制，其驱动范围具有边界，小于整个运动行程，单支链驱动杆长不能任意取值.

3 单支链驱动边界时的奇异分析

3.1 单支链驱动奇异与位姿奇异的关系

并联转台进行单支链驱动到达边界时，机构不能正常运动，将这种现象称为支链驱动奇异.为了分析并联机构发生驱动奇异时的约束情况，以图5所示的单支链运动机构进行说明.

图5 单支链运动机构

图5的单支链运动机构中，连杆在驱动支链的伸缩杆作用下绕立柱固定点转动.当连杆旋转到与驱动支链共线时，驱动支链不能再伸长，杆长到达边界.此时支链的驱动力与立柱约束力共线，发生线性相关，支链不能再驱动.

同理，当并联转台的单支链运动到达边界时，该支链受到结构约束而不能再驱动，说明此时并联机构已具有沿第3支链方向的约束，第3支链与其他2个支链的约束产生线性相关.

并联转台的3个支链发生线性相关后，必然有1个支链的约束不起作用，系统的有效约束只剩下2个自由度，而动平台具有3个运动自由度，并联转台处于欠约束的状态下，整个机构位于奇异位姿.

因此可以判定并联机构单支链驱动到达边界时，并联机构发生位姿奇异，即单支链驱动奇异就是位姿奇异.

3.2 并联机构输入空间边界定义

在单支链驱动到达边界时，并联机构发生位姿奇异，其雅可比矩阵降秩，3个支链线性相关.对并联机构此时的速度关系进行分析.

式(7)中的系数矩阵即为雅可比矩阵，记为J，由式(7)可得

其中Ji表示雅可比矩阵的第i行.在奇异位姿处，雅可比矩阵的各行线性相关，因此有

其中k1和k2表示常系数.将式(9)代入式(8)可得

化简为即支链3的驱动速度与支链1和2的驱动速度相关.此时并联机构各支链的速度不能独立取值，各支链到达了位置空间边界.

从以上分析可以定义并联机构的输入空间边界:当并联机构发生位姿奇异时，各支链线性相关，支链驱动速度也线性相关，有一个支链的速度不能独立输入，从而使得输入向量降维，在该点处支链输入空间到达边界.

因此，当并联机构到达输入空间边界时，单支链发生驱动奇异，引起了各支链线性相关，并联机构处于奇异位姿.

4 单支链归零策略

3UPS-S并联转台进行支链归零时，应使并联机构尽量避开奇异位姿，远离输入空间边界.根据文献［11］研究，在靠近工作空间零位姿处，并联机构不容易发生奇异.因此通过单支链调整，使动平台接近工作空间零位姿，来达到支链归零的目的.

在任意位姿下，3UPS-S并联转台3个支链的最长杆与最短杆差值越大，动平台的位姿角就越大.因此可以先将3个支链中的最长杆缩短，再将最短杆伸长，使3个支链杆长接近，这样就可以远离奇异位姿和支链杆长边界.

在进行支链杆长调整时，不能一次对某个支链进行大范围调整，而应按照少量多次的原则，每次对最长杆和最短杆调整较小的长度，分多次完成调整，才能避免单支链驱动到达输入边界.

这种单支链归零策略在实际应用于3UPS-S并联转台后，可以取得较好的位姿调整效果，能够使并联转台各支链顺利回到零位置.

5 结论

1)并联机构进行单支链驱动具有边界，杆长不能任意取值;

2)并联机构的输入空间驱动奇异就是工作空间位姿奇异，此时并联机构到达输入空间边界;

3)并联机构单支链驱动归零策略为:先将各支链中的最长杆缩短，再将最短杆伸长，并且分多次调整支链杆长，每次调整较小幅度.

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