自然数立方和公式的多种推导方法

2014-12-26 16:16刘东亮
读写算·教研版 2014年22期
关键词:数列

刘东亮

摘  要:一题多解是培养学生发散思维的重要途径,能够很好地体现学习过程中的自主探究与合作学习过程,本文探究了自然数立方和公式的多种推导方法,从不同角度分析问题,找出事物间的内在本质和联系,从而提高学生分析问题、解决问题的能力。

关键词:自然数立方和;裂项法;倒序相加法;组合数;数列

中图分类号:G658                   文献标识码:B               文章编号:1002-7661(2014)22-109-02

一、预备知识

我们已经熟知公式如下:

1、(证明略)

2、

二、的推导

方法一、恒等式变形相消法

因为(=,取=1,2,……,

+1

上面各式相加,得

从而

方法二、配凑函数相消法

,则

从而有

上面式子中,取,2,3,……,,得

上面各式相加,得

所以

方法三、奇数列分组法

已知奇数列:1,3,5,7,9,11,13,15,17,……按如下方式分组(每行为一组):

1

3,5

7,9,11

13,15,17,19

……  …… ……

可以求出第n组(第n行)的奇数列为:,……

显然,第组的所有元素和为,于是,前个自然数的立方和就是上面分组中前组的所有奇数的和。可知共有奇数个。

从而,

方法四、倒序相加法

设:(1)+(2)得,

所以,

方法五、裂项相消法

所以

方法六、构造“三角”数列法

设想:,即,所以可以构造如下等腰直角三角形数列

显然,此三角数列的和即是

的和。按照每列一组的方式求和,得

方法七、组合数配凑法

先证明以下式子成立:

因为

所以

三、结束语

以上是给出了自然数立方和公式的7种推导方法,当然,我们还有更多的方法,比如图表法、数学归纳法、行列式法等。自然数高次幂的求和问题是由著名的数学家雅克布.贝努利首先解决的。我们有些方法可以推广到对自然数高次幂求和推导。从不同的角度思考问题的本质,抓住事物的内在联系,从而对培养学生的发散思维有重大意义。

参考文献:

[1] 陈科钧.林  雅,腾思媛.裂项法的运用探索[J].中国科技博览,2010(21):213-214.

[2] 王  媛.数列求和的常用方法.[J].读写算:教育教学研究.2011:((4):95-97.

[3] 袁  桐.金立建.新编高中数学大观[M].南京:南京大学出版社.1995.

[4] 葛  军.涂荣豹.初等数学研究教程[M].江苏教育出版社.2009.7.

[5] 王竹青。感受数列求和中的数学美[J].学周刊:C版.2011.(3):187-189.

[6] 李正兴,高中数学解题策略[M].上海:上海人民出版社.2002.

所以

方法六、构造“三角”数列法

设想:,即,所以可以构造如下等腰直角三角形数列

显然,此三角数列的和即是

的和。按照每列一组的方式求和,得

方法七、组合数配凑法

先证明以下式子成立:

因为

所以

三、结束语

以上是给出了自然数立方和公式的7种推导方法,当然,我们还有更多的方法,比如图表法、数学归纳法、行列式法等。自然数高次幂的求和问题是由著名的数学家雅克布.贝努利首先解决的。我们有些方法可以推广到对自然数高次幂求和推导。从不同的角度思考问题的本质,抓住事物的内在联系,从而对培养学生的发散思维有重大意义。

参考文献:

[1] 陈科钧.林  雅,腾思媛.裂项法的运用探索[J].中国科技博览,2010(21):213-214.

[2] 王  媛.数列求和的常用方法.[J].读写算:教育教学研究.2011:((4):95-97.

[3] 袁  桐.金立建.新编高中数学大观[M].南京:南京大学出版社.1995.

[4] 葛  军.涂荣豹.初等数学研究教程[M].江苏教育出版社.2009.7.

[5] 王竹青。感受数列求和中的数学美[J].学周刊:C版.2011.(3):187-189.

[6] 李正兴,高中数学解题策略[M].上海:上海人民出版社.2002.

所以

方法六、构造“三角”数列法

设想:,即,所以可以构造如下等腰直角三角形数列

显然,此三角数列的和即是

的和。按照每列一组的方式求和,得

方法七、组合数配凑法

先证明以下式子成立:

因为

所以

三、结束语

以上是给出了自然数立方和公式的7种推导方法,当然,我们还有更多的方法,比如图表法、数学归纳法、行列式法等。自然数高次幂的求和问题是由著名的数学家雅克布.贝努利首先解决的。我们有些方法可以推广到对自然数高次幂求和推导。从不同的角度思考问题的本质,抓住事物的内在联系,从而对培养学生的发散思维有重大意义。

参考文献:

[1] 陈科钧.林  雅,腾思媛.裂项法的运用探索[J].中国科技博览,2010(21):213-214.

[2] 王  媛.数列求和的常用方法.[J].读写算:教育教学研究.2011:((4):95-97.

[3] 袁  桐.金立建.新编高中数学大观[M].南京:南京大学出版社.1995.

[4] 葛  军.涂荣豹.初等数学研究教程[M].江苏教育出版社.2009.7.

[5] 王竹青。感受数列求和中的数学美[J].学周刊:C版.2011.(3):187-189.

[6] 李正兴,高中数学解题策略[M].上海:上海人民出版社.2002.

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