反比例型函数求值域的应对策略

王其军

摘  要：高中数学求值域的方法很多，可以根据函数单调性求值域，可以根据导数法求值域，此外还可以几个重要函数为模型，用图像法、换元法、分离常数法、逆求法等为工具求值域。有时甚至是几种模型与方法混用。本文主要是浅谈以反比例函数为模型的求值域的应对策略。

关键词：反比例函数;值域;反解法

中图分类号：G632                   文献标识码：B               文章编号：1002-7661（2014）22-251-02

高中数学所有章节中，函数作为学习的核心内容，也是高中数学的灵魂，函数的内容辐射面广，其蕴涵的思想方法对其它章节的学习影响深远。而作为函数三要素中的值域，在高考中非常重要，求值域的方法之多，若能够掌握几种典型的求值域问题，由此解决类似问题，便可轻松驾驭求值域问题。函数求值域常以几个重要的函数作为模型，以几种不同思想方法为工具，操作起来便捷有效。本人在长期的教学工作中对反比例函数进行了不断认识，本文通过以反比例函数为模型的实例展现给读者，希望能与大家共同学习与探讨。

一、反比例函数与反比例型函数的图像与值域

反比例函数一般形式为，图像如下：

由图知函数的值域为。

反比例型函数本身不是反比例函数，形式上类似反比例函数，图像可由反比例函数图像变换得到，如：。故其图像如下：

1

-1

故此函数的值域为。

反比例型函数一般形式为

，

而，设，则，故值域为

注：（1）上述过程中，图像是由反比例函数的图像通过“左加右减，上加下减”平移得到。（2）上述化简方法使用了换元法与分离常数法。（3）上述函数定义域为自然定义，没有限制。

二、反比例型函数在限定范围上的值域

例题：求的值域。

应对策略一

【解】设代入原题得，而，

①当时，值域为。②当时，如右图知在时函数单调递增，当时故函数的值域为。

1

-1

③当时，如右图知在时函数单调递减，当 时，故函数的值域为。

1

-1

综上所述：当时，值域为 。当时，值域为。当时值域为。

【注】：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二

【另解】（1）当时，。

（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。

当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。

【注】：本题本身不是反比例型函数，但通过简单换元后变成了限定范围上的反比例型函数，采用“逆求法”或“反解法”求解，由题目中反解出自变量关于函数值的函数。根据自变量的范围建立关于函数值y的不等式去解函数值的范围。

三、反比例函数模型给我们的启示

反比例函数作为一种重要的函数模型，在求值域时经常被使用，操作起来较为简单，正面处理，即通过换元，分离常数，作图像等方法为工具达到有效求解。逆向思维，即“逆求法”或“反解法”，把自变量表示为函数值y的函数，根据自变量的范围，建立关于函数值的不等式，达到求解目的，不仅给学生提供了不同的解题方法，又起到了拔高的效果。

【注】：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二

【另解】（1）当时，。

（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。

当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。

【注】：本题本身不是反比例型函数，但通过简单换元后变成了限定范围上的反比例型函数，采用“逆求法”或“反解法”求解，由题目中反解出自变量关于函数值的函数。根据自变量的范围建立关于函数值y的不等式去解函数值的范围。

三、反比例函数模型给我们的启示

反比例函数作为一种重要的函数模型，在求值域时经常被使用，操作起来较为简单，正面处理，即通过换元，分离常数，作图像等方法为工具达到有效求解。逆向思维，即“逆求法”或“反解法”，把自变量表示为函数值y的函数，根据自变量的范围，建立关于函数值的不等式，达到求解目的，不仅给学生提供了不同的解题方法，又起到了拔高的效果。

【注】：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二

【另解】（1）当时，。

（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。

当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。

【注】：本题本身不是反比例型函数，但通过简单换元后变成了限定范围上的反比例型函数，采用“逆求法”或“反解法”求解，由题目中反解出自变量关于函数值的函数。根据自变量的范围建立关于函数值y的不等式去解函数值的范围。

三、反比例函数模型给我们的启示

反比例函数作为一种重要的函数模型，在求值域时经常被使用，操作起来较为简单，正面处理，即通过换元，分离常数，作图像等方法为工具达到有效求解。逆向思维，即“逆求法”或“反解法”，把自变量表示为函数值y的函数，根据自变量的范围，建立关于函数值的不等式，达到求解目的，不仅给学生提供了不同的解题方法，又起到了拔高的效果。