临近空间无动力攻击器修正弹道建模与仿真

何 苹，王莹莹，贺 波，张圣杰

（空军工程大学，陕西 西安 710051）

0 引言

利用高动态临近空间平台的的高度、速度优势，从临近空间平台发射无动力攻击器，从顶部攻击敌方高价值目标是一种有前景的作战方式［1］。弹道建模是攻击器作战性能研究的基础。传统弹道建模中，因导弹射程不远，弹道高度较低，经常对影响弹道的某些因素作一些假设，如直接应用地面测得的空气动力系数曲线，用插值法确定气动力系数；将地球视作平面，忽略地球曲率的影响，不考虑地球椭球体造成的影响；忽略地球自转的影响等［2］。在常规导弹弹道研究中，这些因素的影响较小，简化假设是合理的。对远程导弹弹道建模的研究，为临近空间无动力攻击器弹道建模提供了参考。文献［3］用近似法对全球到达高超声速飞行器的弹道特性进行了分析；文献［4］针对远程弹箭飞行空域、速度的跨度和变化大的特点，对远程弹箭弹道特性进行了研究。本文综合考虑高空气动力、重力加速度随高度与纬度的变化，地球自转，以及地表曲率等因素对临近空间无动力攻击器弹道的影响，并用仿真计算分析上述因素的影响程度。

1 临近空间无动力攻击器弹道影响因素

1.1 空气动力模型

计算作用在攻击器上的空气动力，关键是确定空气动力系数。攻击器小攻角、小侧滑角飞行时，可近似认为

式中：CD，CL，CZ分别为阻力、升力和侧力系数；α，β分别为攻角和侧滑角为升力系数梯度；为侧力系数梯度；为拟合系数；CD0为零升阻力系数，是飞行马赫数Ma与飞行高度h的函数［4－6］。研究发现：攻击器超声速飞行时，CD0随Ma变化趋势符合Logistic下降型曲线的特点，随h变化趋势符合Logistic上升型曲线的特点，因此用Logistic曲线拟合CD0［7］。

高度相同时（h＝0km），分别用文献［6］中的拟合公式和Logistic曲线拟合CD0的相对误差见表1。Ma为3时，分别用文献［6］中的拟合公式和Logistic曲线拟合CD0的相对误差见表2，表中原始数据由文献［4］中数据插值获得。

由表1、2可知：与文献［6］的拟合公式相比，Logistic曲线对临近空间攻击器CD0的拟合精度更高。因此，本文临近空间无动力攻击器弹道建模中，CD0采用Logistic拟合公式

式中：l为弹形系数。

1.2 重力加速度计算模型

地球实际是一椭球体，重力加速度可表示为

式中：φs为地心纬度；a为椭球体长半轴长度；J为地球一阶扁率系数，且J＝1.5J2；f为引力常数；M为地球质量；q为赤道上一点的离心惯性力与重力之比值，且q＝ω2a3／（fM）；r为攻击器质心至地心的距离，且r＝R＋h。此处：J2为地球形状动力学系数；ω为地球自转角速度；R为地面点到地心的距离，且

其中：为椭球体扁率。

对式（3），J＝0时，可得将地球视为圆球体时重力加速度gpel的表达式为

式中：为地球平均半径；r＝＋h。

椭球体地理纬度Bell，φs与μ的关系可表示为

式中：μ为地球重力线与地心矢径间的夹角。

对式（6），J2＝0时，可得圆球体的地理纬度Bpel，φs的关系可表示为

由式（3）、（5）、（6）、（7），采用牛顿迭代法，可计算临近空间攻击器处于不同高度（0～60km）、不同地理纬度（10°～60°），考虑与不考虑地球扁率时重力加速度的差异。经计算，在高度60km、北纬30°时，地球扁率对重力加速度的影响最大，但差值仅0.121 96%。因此，在临近空间无动力攻击器弹道建模中，忽略地球扁率的影响，将地球视为圆球体。则g的表达式为

表1 相同高度零升阻力系数拟合Tab.1 Coefficients of zero-lift drag on the same height

表2 相同马赫数零升阻力系数拟合Tab.2 Coefficients of zero-lift drag wit the same Math number

1.3 考虑地球曲率及自转影响

将地球视为旋转的圆球体，考虑离心惯性力、柯氏惯性力和牵连惯性力对攻击器弹道的影响［8］。假设攻击器在赤道平面内水平飞行，此时攻击器弹道倾角θ＝0°，φs＝0°，则

式中：m为攻击器质量；vm为攻击器速度；D为空气阻力；L为空气升力。

可见，离心惯性力的影响表现为m（vm）2／r，与vm平方成正比，与距离r成反比；柯氏惯性力的影响表现为2mvmω，与vm成正比，与r无关；牵连惯性力的影响表现为mω2r，与r成正比，与vm无关。

设攻击器飞行高度分别为7，30，60km，在每一高度飞行速度分别为200，1 000，1 500，2 000m／s，计算离心惯性力、柯氏惯性力、牵连惯性力与重力之比，结果见表3。由表3可知：随着攻击器飞行高度增大，三项附加力对攻击器弹道的影响略增，但不明显；从三项附加力的影响程度看，离心惯性力的影响最大，柯氏惯性力的影响次之，牵连惯性力的影响最小。其中牵连惯性力对攻击器弹道的影响最大值仅0.356%。因此，在临近空间无动力攻击器弹道建模中，考虑离心惯性力、柯氏惯性力攻击器弹道的影响，忽略牵连惯性力的影响。

表3 三部分附加力对攻击器弹道的影响Tab.3 Analysis of the influence of additional force on pursuer trajectory

2 临近空间无动力攻击器修正弹道建模

在常规弹道模型的基础上，综合考虑高空空气动力、重力加速度随高度与纬度的变化、地球曲率及自转等因素的影响，可得临近空间无动力攻击器质心在发射坐标系中的动力学方程组

式中：ρ为空气密度；θ为攻击器弹道倾角；η为极坐标角；ψv为弹道偏角；L为空气升力；Z为空气侧力。本文只给出考虑以上因素的变化部分，常规弹道的动力学模型参考文献［2］。

3 仿真结果与分析

为校验本文建立的临近空间无动力攻击器弹道模型的合理性，并分析高空空气动力、重力加速度随高度与纬度的变化、地球曲率及自转等因素对攻击器弹道的影响，分别对综合考虑与不考虑上述因素的弹道模型进行仿真。仿真条件为：临近空间平台高度42km，以速度1 800m／s、发射角0°发射无动力攻击器，攻击距离150km外、高度10km，以Ma＝0.7、半径50km作圆周巡航的目标，采用比例导引弹道，比例系数为4。三自由度弹道如图1所示。

由图1可知：两种弹道有较大差异。在相同发射条件下，攻击器采用常规弹道模型时，攻击器、目标遭遇点的坐标为（149 100，10 010，22 740）m，采用本文的修正弹道模型，攻击器、目标遭遇点的坐标为（149 200，8 253，19 820）m。两种弹道模型仿真中飞行性能见表4。由表4可知：末速度相差9.4%，平均速度相差2.0%，作战飞行时间相差1.9%，对临近空间无动力攻击器来说，此差别不容忽视。因此，对临近空间攻击器弹道建模，有必要综合考虑高空空气动力、重力加速度随高度与纬度的变化、地球曲率及自转等因素的影响。

图1 三自由度理想弹道Fig.1 Three-axis normal trajectory

表4 两种弹道模型对应攻击器飞行性能指标Tab.4 Flight performance index result of trajectory models

4 结束语

针对临近空间无动力攻击器的特殊飞行情况，基于尽可能减小误差的原则，本文对弹道模型的精确化进行了研究。定量分析了高空空气动力、重力加速度随高度与纬度的变化、地球曲率及自转等因素对攻击器弹道的影响，并建立了适于临近空间无动力攻击器的修正弹道模型。仿真结果表明，综合考虑上述因素是必要的。研究结果对临近空间攻击器总体方案设计有一定的参考价值。

［1］ HE Ping，YANG Jian-jun.Feasibility analysis of near space un-powered guided bomb when attacking aerial target based on genetic algorithm［C］／／ICIECS 2009.Wuhan：ICIEC，2009：1516-1519.

［2］ 雷虎民.导弹制导与控制原理［M］.北京：国防工业出版社，2006.

［3］ PERSTON H C，DARRY J P.Approximate performance of periodic hypersonic cruise trajectories for global reach［C］／／Proceedings of AIAA 8thInternational Space Planes and Hypersonics and Technologies Conference.Norfolk：AIAA，1998：1-6.

［4］ 李臣明.高空气象与气动力对远程弹箭弹道影响的研究［D］.南京：南京理工大学，2007.

［5］ 孙 鹏，张合新，孟 飞.再入飞行器最优减速研究［J］.导弹与航天运载技术，2006（2）：1-5.

［6］ 张 毅，肖龙旭，王顺宏.弹道导弹弹道学［M］.长沙：国防科技大学出版社，2005.

［7］ 何 苹，杨建军.临近空间导弹空气阻力系数的Logistic曲线拟合［A］：军事系统工程年会论文集［M］.北京：海潮出版社，2009：626-629.

［8］ 张 弫.远程反空气动力目标拦截器推进和弹道问题优化研究［D］.北京：中国航天科工二院，2002.