基于改进阈值函数及SVM的滚动轴承故障诊断

李伟，韩振南

(太原理工大学机械工程学院，山西太原 030024)

0 前言

滚动轴承故障诊断的实质是状态的识别过程，包括信号的采集、特征的选择和提取、状态的模式识别。

通常，采集的滚动轴承振动信号中夹杂着大量的随机噪声。故障特征往往受到这些噪声的影响而不宜识别，甚至淹没在强大的背景噪声中。所以在信号分析过程中，首先应进行信号的去噪处理。

在众多的去噪方法中，小波阈值去噪法因计算速度快，可以较好地抑制噪声，且能很好地保留原始信号的特征尖峰点而得到广泛地应用。由D L DONOHO和 I M JOHNSTONE［1－2］提出的硬阈值函数和软阈值函数虽然在信号降噪中有较好的效果。但这两种传统阈值函数自身存在的不足会对重构信号的平滑性和精确性产生不良影响。文中提出的改进阈值函数，能克服传统阈值函数的不足。并且函数中参数的可调性和对各尺度下小波系数的多分段处理，为去噪的优化提供了一种新的途径。

支持向量机 (Support Vector Machines，SVM)是以统计学习理论中的VC维理论和结构风险最小化原理为基础的新型机器学习方法。它与以神经网络为代表的传统机器学习方法相比，SVM解决了小样本学习问题、高维问题、结构选择问题、局部极值问题［3］。这些优点使支持向量机特别适用于小样本实际问题的解决。目前，国内外学者在将SVM应用于轴承故障诊断方面进行了大量的尝试。DIEGO等［4］仅采用正常轴承振动信号功率谱的子带能量作为特征向量建立单类v-SVM模型，并取得了较好的诊断效果;董绍江等［5］提出了沿尺度分布的非广延小波尺度熵和流形学算法相结合的特征提取方法，并选用Morlet小波核函数构造轴承故障诊断的SVM模型，该方法能有效地提高故障的识别精度和效率;蒋永华等［6］将小生境遗传算法用于轴承故障诊断SVM模型的优化，通过控制惩罚因子和核函数中的参数，在一定程度上增强了SVM的抗噪能力。但单纯地通过特征提取方法的改进和SVM参数的优化并不能最有效地降低噪声对分类能力、运行速度以及故障样本利用率的不良影响。因此，文中提出了一种基于改进阈值函数及SVM的滚动轴承故障诊断方法。该方法能有效地降低噪声的影响，提高故障诊断的效率和可靠性，并更大程度上节约了宝贵的样本资源。

1 阈值函数的分析

1.1 小波阈值去噪理论

(1)小波阈值去噪法是利用有用信号和噪声在小波变换尺度空间表现出的不同特性［7］而设定一个阈值，当小波分解系数小于该阈值时，认为此时的小波系数主要是由噪声引起，做置零处理;当小波系数大于该阈值时，认为此时的小波系数主要由有用信号产生，予以保留或作适当收缩。这样就实现了有用信号和噪声在小波域的分离。最后通过小波逆变换对处理后的小波系数进行重构，完成信号的去噪。

(2)小波阈值去噪法的关键是阈值和阈值函数的选取［8］。阈值过小，不能有效的剔除噪声。过大则可能将部分有用信号当作噪声一并滤去，从而导致信号的失真。阈值函数作为处理小波系数的法则，其连续性等性质会直接影响处理后的小波系数大小，最终影响去噪的效果和质量。

1.2 硬软阈值函数的缺点分析

设ω是原始小波系数，T是阈值，η(ω)是阈值处理后的小波系数。

1.2.1 硬阈值函数

硬阈值方法是将原始小波系数绝对值中低于阈值的部分全部置零，高于阈值的部分保持不变。但硬阈值函数在|ω|=T处不连续，如图1所示。这种小波系数序列的剧烈变化，使重构序列的光滑性变差，重构后的信号产生震荡，并可能发生信号的失真。

图1 硬阈值函数示意图

1.2.2 软阈值函数

软阈值方法是将原始小波系数绝对值中低于阈值的部分置零，而高于阈值的部分统一地按固定的值向零收缩。较硬阈值函数，软阈值函数解决了连续性问题。但当|ω|≥T时，处理后的小波系数与原始小波系数总存在一个恒定的偏差，如图2所示。这种无差别的处理方式，会使重构后的去噪信号不能最好地逼近有用信号，影响重构的精确性。甚至会丢失一些有用的高频信息。

图2 软阈值函数示意图

1.3 改进的阈值函数

1.3.1 改进阈值函数的表达式

其中:

α＞1，β＞1为阈值函数的调节因子。作用是增强改进的阈值函数在去噪过程中的灵活性和实现去噪效果的优化。

1.3.2 改进阈值函数的分析

(1)从表达式可知，改进的阈值函数在分界点|ω|=T和|ω|=αT处均连续，克服了硬阈值函数的缺点。并且如公式 (6)— (8)所示，当|ω|≥αT时，经新阈值函数处理前后的小波系数之差的绝对值n(ω)的导数在区间 ［αT，+∞］内小于零，在区间 ［－∞，－αT］内大于零。且当ω趋于无穷大时，n(ω)的极限为零。这说明小波系数的收缩程度会随着小波系数绝对值的增大而减小，从而解决了软阈值函数产生恒定偏差的不良现象。

通过图3中的对比得出:改进的阈值函数介于软硬阈值函数之间，连续性好、小波系数收缩程度随着系数大小的改变而改变、并以硬阈值函数曲线为渐近线。既综合了软硬阈值函数的优点，又克服了它们的不足。

图3 新旧阈值函数对比图

(2)对大于阈值的原始小波系数进行阈值化处理时，在不同区间段的系数对向零收缩的快慢程度有不同的要求。但要寻找一个初等函数来实现此过程会有一定的困难。因此，通过参数α来完成对|ω|≥T区间的分段。并在不同的区间段采用陡峭程度不同的对数函数和指数函数。根据实际情况，适当地改变α取值，可以调节分段区间的相对长度，从而能更合理地对小波系数进行阈值化处理，提高重构后的精度。

(3)调节参数β，能进一步更精细地改变T≤|ω|＜αT和|ω|≥αT区间段阈值函数的陡峭程度。当α=2，β分别取1.1和1.8时，阈值函数的对比情况如图4所示。

图4 参数β对阈值函数的影响

通过以上理论分析可知:改进的阈值函数弥补了传统软硬阈值函数的不足，并由于参数α和β的引入，在应用上会更具灵活性。

1.4 MATLAB仿真实验

为了验证改进阈值函数的有效性和优越性，利用MATLAB中的wnoise函数对bumps信号加入白噪声。再分别用硬阈值、软阈值函数和改进的阈值函数对含噪信号进行去噪处理。这里统一选用sym8小波进行5层分解。其中对于新阈值函数，选不同的α和β进行两组去噪仿真实验。在第一组仿真中，α取2，β取1.5;在第二组仿真中，α和β均以1.1为初始值，以0.1为步进长度进行50×50次循环，并将去噪后信号和原始信号的互相关系数作为目标函数，取能使目标函数达到最大值0.995 3时的α和β。最后的仿真结果如图5所示。

图5 新旧阈值函数去噪效果对比

信号去噪处理中，反映信号去噪质量常用的评价指标有信噪比 (Signal-Noise Ratio，SNR)、均方根误差 (Root-Mean-Square Error，RMSE)。SNR 越 大，RMSE越小，表明信号去噪的效果越好。

经3种阈值函数去噪后的均方根误差，信噪比如表1所示。

表1 去噪效果的评价指标

从图5，表1可看出:经改进阈值函数去噪后的信号，有更高的信噪比和较低的均方根误差。并且调节参数α和β，能得到不同的去噪结果。这为实现最优化去噪提供了可能。以上两方面说明:改进的阈值函数不论在去噪效果还是灵活性方面都更具有优越性。

2 支持向量机原理

支持向量机方法是从解决线性可分问题的最优分类超平面提出的。

对于含有n个样本的训练集D={(xi，yi)i=1，2，…，n}，xi∈Rn，yi∈ {+1，－1}的二分类问题。如果存在一个超平面H:(w·x)+b=0，能将训练集中的n个样本完全正确地分为两类，则称该平面为分类超平面。通过各类中距离分类超平面H最近的样本点且平行于分类超平面的两个平面H1:(w·x)+b=+1和H2:(w·x)+b=－1称为标准超平面。它们之间的距离2/‖w‖，就是分类间隔。支持向量机的目的就是寻找能使分类间隔最大化的最优分类超平面。其结构示意图如图6。

图6 最优超平面示意图

求解最大化分类间隔的过程就是求二范数‖w‖2在约束条件yi［(w·xi)+b］－1≥0，i=1，2，…，n下的最小值。这是一个凸二次规划优化问题，其解可通过拉格朗日乘子法获得。最后根据Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件，得到最优分类函数的表达式为［9］:

式中:sgn为符号函数。

对于线性不可分问题，支持向量机的处理方法是通过非线性映射Φ，将样本点从低维数线性不可分空间转化到高维线性可分空间。这样就将线性不可分问题转换为前面所介绍的线性可分问题。并且这种转换的关键，并不是求解出这种非线性映射Φ的具体表达式，而只需通过满足Mercer定理的核函数K来求出高维特征空间中的内积Φ(xi)·Φ(x)，即Φ(xi)·Φ(x)=K(xi，x)。最后得出最优分类函数为:

在上述的讨论中，都严格要求样本点能被完全正确地分类。但在实际应用中，往往存在少量主要由噪声产生的样本点，使得完全无误地分类变得困难。因此引入松弛变量ξ和惩罚因子c来增加支持向量机对噪声数据的容错性。松弛变量ξ的值代表离群程度:值越大，表示未被正确分类的样本点离群越远。惩罚因子c的值代表对离群点的重视程度:值越大，表示越希望离群点能被正确分类［10］。

3 基于改进阈值函数去噪和支持向量机的滚动轴承故障诊断

文中采用的滚动轴承故障诊断方法实质上是对振动信号的处理、分析和分类。主要分为5个步骤:

(1)信号预处理:通常在采集到的振动信号中，与轴承状态无关的振动噪声会增大支持向量机分类的经验风险，从而降低拟合和泛化性能［11］。因此，先初始化改进阈值函数中的参数α和β，并利用该阈值函数对原始振动信号进行小波阈值去噪。

(2)特征提取:将小波分解后经阈值处理过的各频率段的信号能量作为主要特征参量。并采用去噪后信号的均方根误差、波形指标、峰值指标、脉冲指标、裕度指标、峭度指标作为辅助特征参量。它们共同构成支持向量机用于分类所需的特征矩阵。

(3)SVM参数的寻优:因为核函数类型对支持向量机性能的影响并不明显［12－13］，所以文中统一只采用径向基核函数。而寻优过程主要是针对惩罚因子c和径向基核函数中的参数g。方法采用基于交叉验证的网格搜索法［14］。

(4)反馈调节:将SVM参数寻优结果中的惩罚因子c和交叉验证的平均分类准确率accuracy作为被控变量。当c和accuracy不满足预定的要求时，提取出SVM参数寻优过程中的错分样本，并调整参数α和β对错分样本所对应的原始振动信号重新进行去噪处理和特征提取。再用得到的新数据替换原测试集中对应的数据，并重新进行SVM参数的寻优。重复反馈调节，直到被控变量c和accuracy满足系统预定的要求。

(5)SVM模型的训练与测试:采用建立在最优参数基础上的一对一算法对训练集进行训练，得到故障诊断的分类模型。并通过测试集来检验该模型的分类精确度和泛化能力。

上述滚动轴承故障诊断方法的具体流程如图7所示。

图7 基于改进阈值函数和SVM滚动轴承故障诊断流程图

4 实例分析

本节所分析的轴承振动加速度信号来源于凯斯西储大学的轴承数据中心。4组试验轴承均为6205-2RS深沟球轴承。其中单点内圈、滚动体、外圈故障轴承均通过电火花机在轴承相应位置加工出微小凹痕来模拟。在振动试验中，4种状态的轴承均采用外圈固定的安装方式。并都在发动机转速为1 750 r/min，负载为1.47 kW的工况下以12 kHz的采样频率采集振动信号。

现将每种状态下的信号分为50组，每组的数据长度为2 400点。对得到的200组信号进行编号，用db1小波对其分别进行8层小波分解，并采用无偏风险估计阈值 (rigrsure)进行基于改进阈值函数的信号去噪。改进阈值函数中的参数α，β初始值为1.1。

提取去噪后信号的均方根误差、波形指标、峰值指标、脉冲指标、裕度指标、峭度指标以及各频率段的能量构成200×15的特征参数矩阵。并将这200组数据中的60%作为首次SVM参数寻优的训练样本，其余的40%样本用于最终的模型测试。

采用一对一算法和径向基核函数，在LIBSVM平台上均以0.5为步长，对120组训练样本进行惩罚系数c和径向基核函数参数g在 ［2－10，210］范围内的5折交叉验证。并设定SVM参数寻优的终止条件为CVAccuracy＞95且c＜200。反馈环节中，α和β以步进的方式进行调节，即每反馈一次β值增加0.1，当β＞5时，β还原为初始值，α增加0.1，并在此基础上重新开始β值的步进。

按图7所示的流程图，得到SVM首次和最终的寻优结果如图8所示，其中最优参数点对应于曲面的峰点。SVM建模过程各阶段中被错误分类的样本编号如表2所示。

图8 反馈前后SVM参数寻优结果3D视图

表2 SVM建模过程中各阶段的错分样本

采用最优参数建立滚动轴承状态识别的SVM模型。并利用该模型对80组测试样本进行状态识别。最后的分类正确率为98.75%。其中只有一个正常轴承被错误的识别为内圈故障轴承。

由图8和表2可知:将改进阈值函数去噪法引入滚动轴承故障诊断的SVM建模中，错分样本的数量由最初的12降为2，提高了模型建立所用样本的利用价值，从而从去除因噪声产生奇异样本的角度来降低惩罚因子，并增强SVM模型的分类和泛化能力。

为了验证改进阈值函数去噪对于状态识别准确率的影响，还分别以无预处理的原始含噪信号、经传统阈值函数去噪后的信号为样本数据进行了SVM模型的训练和测试。其中传统阈值函数法去噪均采用db1小波8层分解来获取小波系数。同状态，不同方法下所得数据的诊断结果如表3所示。

表3 不同预处理下的轴承分类结果 %

由表3可以得出:未进行去噪处理的智能诊断正确率很低，利用改进阈值函数去噪后的诊断正确率最高。而传统阈值函数去噪对准确率的提高并不理想。可见:滚动轴承振动加速度信号中夹杂的噪声会降低基于支持向量机模式识别的准确率，并且较传统阈值函数，文中提出的改进阈值函数能更大限度的提高模式识别的置信水平。

5 结论

(1)在传统软硬阈值函数的理论基础上，提出了一种改进的阈值函数。它是对软硬阈值函数的折中和优化。其良好的连续性，灵活的多分段处理和系数向零收缩快慢的可调性，使小波阈值法去噪的效果更优良，并能更大程度地保留信号中的有用信息。实验分析表明，将这种改进的阈值函数去噪法与支持向量机相结合，应用于滚动轴承的模式识别，能有效提高稀缺样本的利用率并增强所建SVM模型的泛化能力和分类准确率。

(2)目前公认的信号去噪评价指标均是针对噪声强度已知的情况。但在实际的工程应用中，含噪信号的噪声强度一般未知，而尚未有一种指标能在该情况下对信号去噪的质量做出准确的评价。因此，文中提出的通过改进阈值函数实现最优化去噪的方法面临着何为最优的问题，但这正是作者将进一步深入研究的内容。

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