基于时间序列模型的超声信号滤波算法研究*

张 朋,范福玲,杨 益,常 静

(中原工学院电子信息学院,郑州 450007)



基于时间序列模型的超声信号滤波算法研究*

张 朋*,范福玲,杨 益,常 静

(中原工学院电子信息学院,郑州 450007)

针对超声波测量油井液面深度系统中,现有降噪滤波算法复杂,效果差的缺点,提出了基于时间序列模型和新息卡尔曼滤波相结合的新方法。利用时间序列分析法对动液面测量系统建立ARMA模型;基于卡尔曼滤波实时在线消除随机噪声的特性,设计了新息自适应卡尔曼滤波算法,并结合ARIMA模型以消除模型误差,实现了基于时间序列系统模型对系统特征状态的最优估计目的。该新型滤波方法已经在油田现场测试和运用,测试结果表明,算法实时、高效,滤波效果好,精度高,能满足实际工程应用。

超声波;时间序列;ARMA;ARIMA;新息自适应卡尔曼滤波

为解决利用超声进行油井动液面测量[1-2]时因噪声干扰出现测不到、测不准液面深度的问题,确保实时、准确、全面的掌握油田现场油井动液面参数,达到测试数据可供不同的部门应用的目的。本文采用声波法测距原理计算油井液面深度,利用时间序列分析方法[3-4],对每口油井油套环空中的声波序列建立数学模型,运用新息卡尔曼滤波消除模型误差[5-8],可大幅提高测量的精度。并成功在油井动液面测量中成功使用。

1 时间序列分析的理论与方法

1.1 时间序列建模方法[3-4,9]

时间序列分析方法是指采用参数模型对观测到的有序随机数据进行分析和处理的现代统计方法。时间序列建模的内容包括数据的采集、数据的统计分析(平稳性检验及相关函数分析)与预处理、模型形式的选取、模型阶次的确定、模型系数的估计、适用性检验等。其中模型阶次的确定、模型系数的估计和适用性检验是关键。

常用的随机时间序列分析方法分为平稳时间序列分析和非平稳时间序列分析两大类。平稳时间序列模型包括AR模型、MA模型、ARMA模型3类;非平稳时间序列模型主要包括ARIMA模型和季节模型SARIMA(Seasonal Integrated Moving Average Model)两类。以上5种模型中,AR(p)模型、MA(q)模型、ARMA(p,q)模型仅适用于平稳时间序列建模和预测;ARIMA模型适用于非平稳的时间序列建模和预测,而且可将AR(p)模型、MA(q)模型、ARMA(p,q)模型视为ARIMA模型的特例;SARIMA模型适用于具有季节性周期特征的时间序列分析与建模。

自回归滑动平均模型可表示为:

φ(B-1)y(t)=θ(B-1)ε(t)

(1)

当时q=0,式(1)退化成AR模型,即:

xt-φ1xt-1-φ2xt-2-…-φpxt-p=εt

(2)

当时p=0,式(1)退化成MA模型,即:

xt=zt-θ1zt-1-θ2zt-2-…-θqz-1

(3)

显然,AR和MA模型可以视为ARMA模型的特殊情形。这3种模型的差别在于自相关、偏自相关函数具有各自的特性。模型具有自相关函数“拖尾”,偏自相关函数“截尾”的性质;MA具有自相关函数“截尾”,偏自相关函数“拖尾”的性质;ARMA具有自相关函数、偏自相关函数均“拖尾”的性质。在时间序列平稳的条件下,根据自相关、偏自相关函数的“拖尾性”、“截尾性”确定模型的类型,根据准则确定模型的阶次。

通过上述时间序列建模方法,对给定的时间序列可建立能客观描述系统特性的时间序列模型,并能确定具体的模型参数。

2 Box-Jenkins建模理论方法

2.1 时间序列模型的特征函数

可通过一些特征函数来反映时间序列模型的特性,如自相关函数、偏相关函数、功率谱函数等。其中,自相关函数、偏相关函数是B-J建模方法中非常重要的两个性能参数。

①自相关函数

时间序列的序列值之间可用自相关函数来描述和度量同一事件在两个不同时期之间的相互影响程度。由于一般只能得到随机变量的样本观测值,因此通常用自相关系数作为实际应用时自相关函数的估计值。延迟k阶自相关系数为

(4)

②偏自相关系数

在求出延迟k阶自相关系数时,实际上得到的并不是xt与xt-k之间简单的相关关系,还会受到中间k-1个随机变量的影响。为了单纯测出xt与xt-k的相关关系,引入了偏相关函数,它是在剔除了中间k-1个随机变量的干扰后的延迟k阶自相关函数,通常用偏相关系数来作为实际应用时偏相关函数的估计值。延迟k阶偏相关系数为

(5)

(6)

2.2 模型识别

①平稳非白噪声序列阶数识别

如果一个通过预处理的序列是平稳非白噪声序列,则可以对该序列进行建模。模型识别是时间序列建模的第1个阶段,是根据样本自相关系数和偏相关系数的性质来选择阶数适当的模型,也称为模型定阶。ARMA(p,q)模型定阶的基本原则如表1所示。

表1 ARMA模型定阶基本原则

实际情况中,由于样本的随机性,样本自相关系数和偏相关系数不会呈现理论截尾的完美情况,截尾处可能会出现零值附近小值震荡的情形,那么震荡值小到多少可以视为截尾,相应的阶数又如何确定。这实际上没有绝对的标准,可基于Jenkins、Watts和Quenouille的理论[3,6,8],借鉴利用2倍标准差范围辅助判断。取显著性水平a=0.05,如果样本自相关系数和偏相关系数在最初的k阶明显大于2倍标准差,而后几乎95%的系数都落在2倍标准差的范围内,且非零系数衰减为小值波动的过程非常突然,通常可视为k阶截尾;如果超过5%样本自相关系数和偏相关系数落入2倍标准差的范围外,或者非零系数衰减为小值波动的过程比较缓慢或连续,通常视为拖尾。

②差分阶数和步长识别

对于非平稳的时间序列要通过差分变得平稳,还要识别差分阶数d和季节差分因子s,对于差分阶数的识别一般通过时序图和样本自相关系数来判别,见表2。

表2 差分阶数识别

2.3 模型阶数确定

在模型识别基础上,利用AIC准则全面考虑了模型阶次和残差的相互做用,同时也考虑了建模数据长度对模型的影响,具有很高的准确性。

AIC准则定义如下:

AIC(p,q)=lnσn+2(p+q)/N

(7)

式中:σn是拟合残差的方差;p,q分别是滑动平均模型和自回归模型的阶次;N是参与估计样本的个数。具体应用时,由低到高分别计算AIC的值,然后选择使AIC值达到最小的模型阶次作为系统模型阶次。

2.4 模型参数估计

当ARIMA模型的阶次确定好之后,开始模型系数的估计。由于对油井动液面深度监测是一个动态的过程,所以样本数据的模型系数也是动态变化的,故选用实时参数估计方法估计ARIMA模型系数[8-11]。考虑到ARIMA(p,d,q)模型系数求取时能够方便的引用RELS算法,本文将基础模型ARIMA(p,d,q)的系数作为ARIMA模型的系数。把ARIMA(p,d,q)模型写成矩阵的形式如式(8):

x(t)=φT(t)θ+ε(t)

(8)

式中:φT(t)=[-x(t-1),…,-x(t-p),ε(t-1),…,ε(t-q)]

(9)

θT=[φ1,…,φp,θ1…θq]

(10)

利用改进的递推最小二乘算法(RELS)可实时估计模型的系数和噪声ε(t)。

设原ARMA(p,q)模型可用AR(n)拟合:

x(t)=φT(t)β+ε(t)

(11)

式中:φT(t)=[-x(t-1),…,-x(t-n)];βT=[z1…zn]。

由RLS算法可得到:

(12)

(13)

P(t+1)=[I-κ(t+1)φT(t+1)]P(t)

(14)

(15)

式(10)是一个白噪声平滑估值器。用它代替式(7)中的噪声,可解除参数估值与噪声估值之间的耦合关系。在式(7)基础上可实时求得模型的系数。

3 新息自适应卡尔曼滤波[8,11-12]

卡尔曼(Kalman)滤波是一种基于最小方差估计的递推式滤波方法,广泛用于动态系统分析、估计、预测和控制。前文建模方法建立的油井液面深度测量系统的时间序列模型,主要不确定问题是系统噪声和量测噪声的统计特性,本节利用新息自适应调整滤波方程中的系统噪声协方差阵Q和量测噪声协方差阵R,利用一种新的自适应卡尔曼滤波器滤除系统建模产生的模型误差,达到对系统状态的最优估计[5,7]。

卡尔曼滤波主要解决在带加性噪声信号x(t)=s(t)+n(t)中提取有用信号s(t)的问题。实际应用中,先将系统离散化,用离散化后的差分方程来描述连续系统。卡尔曼滤波离散状态方程由过程方程(11)和测量方程(12)描述:

Xk=A(k+1,k)xk-1+wk-1

(16)

Zk+1=Hk+1Xk+1+vk+1

(17)

式中:Xk为k时刻系统状态量;A(k+1,k)为系统一步状态转移矩阵;wk为系统噪声,其协方差阵为Qk;Hk+1为系统量测矩阵;Zk+1为k+1时刻系统量测值;vk+1为量测噪声,其协方差阵为Rk+1。

以新息形式表示的离散型线性系统的卡尔曼滤波的一般算法为[5,8]

状态一步预测

(18)

均方误差一步预测

(19)

滤波增益

(20)

状态估计

(21)

均方误差估计

Pk+1=(I-Kk+1Hk+1)P(k+1,k)

(22)

式中:IVk+1为k+1时刻新息状态;CIVk+1为其方差,表达式为

(23)

(24)

基于新息的系统噪声协方差阵Q的自适应估计由式(19)可得

(25)

又由式(17)可知

P(k+1,k)-Pk+1=Kk+1Hk+1P(k+1,k)

(26)

(27)

因为在滤波稳定时,均方误差阵P趋近于0,则式(22)可以近似为

Qk≈Kk+1Hk+1P(k+1,k)

(28)

(29)

(30)

基于新息的量测噪声协方差阵R的自适应估计由式(24)变形即可直接获得基于新息的量测噪声协方差阵的自适应估计

(31)

4 现场数据处理及结果分析

本文以油田现场抽油机的工作状态,采用本文提出的基于时间序列模型和新息卡尔曼滤波的实时消噪方法,对采集的超声波信号进行实时消噪滤波处理。

(1)抽油机井回波检测

设置采集卡采样率500 Hz,采样时间20 s。测得抽油机井测得回波信号如图1所示。

在工程应用中,由于来自观测环境、设备本身等多种偶然因素的综合影响和作用,正常观测时出现野值的几率约为2%～5%甚至10%～20%。设备运行的油田环境复杂,所以本文选用去野值的方法,对接收到的声波信号预处理,得到预处理之后信号如图2所示。

图1 预处理之后声波信号

图2 声波序列自相关、偏自相关函数图

(2)建立时间序列模型

①确定系统模型:

在文中第2部分理论基础上和方法步骤,运用单位根检验,判定系统满足平稳性指标。针对平稳的时间序列,运用自相关函数图的拖尾截尾性(自相关、偏自相关如图3所示)确定系统模型类型为ARMA。

②定阶、系数估计、建立模型

采用AIC定阶准则确定ARMA阶数,运用RELS实时估计模型参数,建立系统模型为:

A(q)y(t)=C(q)e(t)

(32)

A(q)=1-3.045q-1+1.354q-2+4.499q-3-4.274q-4-3.577q-5+5.645q-6+1.07q-7-4.461q-8+1.102q-9+1.499q-10-0.98q-11+0.1689q-12

(33)

C(q)=1+0.233q-1-2.355q-2+0.02448q-3+3.041q-4-0.5197q-5-2.479q-6+0.8557q-7+1.172q-8-0.6283q-9+0.02918q-10+0.2971q-11-0.1404q-12

(34)

③模型适用性检验

在对时间序列建模之后,还必须进行模型检验来判断拟合模型是否适当,需要检验两个内容:模型的平稳性、适用性。一个好的拟合模型应该将序列值中的样本相关信息提取完全,即残差序列应该是纯粹由随机干扰产生的,即它应当是白噪声序列。反之,如果残差序列不是白噪声序列,那就意味着残差序列中还有相关信息可供提取,说明拟合模型不够有效,通常需要选择其他模型重新拟合。因此,模型的显著性检验也就是残差序列的白噪声检验。根据白噪声的自相关及偏自相关函数图全部落在99%置信区间内,检验模型适用性。残差自相关及偏自相关函数如图3所示。

图3 模型适用性检验图

图3表明,自相关系数、偏自相关系数均落在置信区间内。可以得出,系统稳定,模型描述系统适用。

④新息自适应卡尔曼滤波

基于系统模型,对超声波测距信号进行估计和预测。但是Box-Jenkins模型对信号无法达到最佳估计和预测,为了实现模型的最优估计和误差补偿,在ARMA模型的基础上,结合新息自适应卡尔曼滤波对模型产生的误差进行实时补偿,从而达到了对噪声很好的抑制。经新息自适应卡尔曼滤波之后,估计出的声波信号波形如图4所示。

图4 卡尔曼滤波之后的信号放大图

比较图1和图4可直观的得出:新息自适应卡尔曼滤波对测试系统模型的误差进行了补偿,使声波信号的噪声得到了很好的抑制。这进一步说明滤除噪声后得到的测距信号检测回波方便、测距精度高的优点。

5 小结

从声波信号数字处理角度出发,以时间序列模型为基础,研究和建立了油井动液面测量系统模型;利用卡尔曼滤波可以实时在线消除随机噪声的特性,研究了利用新息自适应卡尔曼滤波方法消除ARIMA模型误差的方法,达到了较好的超声滤波效果。

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The Study on Ultrasonic Signal Filtering Algorithm Based on the Time Series Model*

ZHANGPeng*,FANFuling,YANGYi,CHANGJing

(School of Electric and Information Engineer,Zhongyuan University of Technology,Zhengzhou 450007,China)

Aiming at the shortcomings of the complexity and the poor results of the existing filtering algorithm in the oil well Ultrasonic level measurement system,a new method based on time series models and the Innovation-Based Adaptive Kalman Filter is proposed. The ARMA model of the dynamic oil well Ultrasonic level measurement system is established based on the time series model. The Innovation-Based Adaptive Kalman Filter is studied and designed also. Using the online eliminate random noise error characteristics of the Kalman Filter and the characteristics of the ARIMA model can Makes the optimization of the system features state. The method has been used in the producing oil field. The actual test,this method has high accuracy,real time and efficient. And the measurement error is small,which can meet the practical engineering applications.

ultrasonic wave;time series;ARMA;ARIMA;innovation-based adaptive Kalman filter.

张 朋(1979-),男,博士,博士后,副教授。主要从事电力系统,网络化测控技术,多传感器数据融合技术方面的研究,zhangpengbbc@163.com;

范福玲(1965-)女,硕士,副教授,从事网络化测控,电力系统方面研究,FanFuLing00@163.com。

项目来源:河南省教育厅科学技术研究重点项目(12B510037,13B510296);河南省科技厅科技攻关计划项目(142102210579);郑州市科技局普通科技攻关计划项目(141PPTGG363)

2014-10-28 修改日期:2014-12-03

C:2555;7220

10.3969/j.issn.1004-1699.2015.03.017

TM727

A

1004-1699(2015)03-0396-05