压电弹性力学中第二类Volterra积分方程的直接Flion方法

方春华

(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)

压电弹性力学中第二类Volterra积分方程的直接Flion方法

方春华

(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)

针对压电弹性力学中的第二类Volterra积分方程, 给出了直接Flion方法. 该方法格式简单, 计算速度快, 且并行度高. 数值实验验证了格式的高效性.

压电弹性力学; 第二类Volterra积分方程; 直接Flion方法; 高效率

引言

在物理和工程领域中, 常常涉及Volterra 积分方程的求解, 如信号传输, 波动问题, 烟雾过滤, 等等. 著名数学家Cauchy, Fredholm, Volterra 等都对Volterra 积分方程进行了系统的研究. 但绝大部分只能找到近似解, 只有一些相当特殊的问题才能找到精确解. 相关算法目前主要有Nystrom, Galerkin 边界元, 谱方法[1]等.

丁皓江等在文[2～4]中将径向变形的压电空心圆柱和空心球弹性动力学问题转化为如下的第二类Volterra 积分方程:

其中E1,E2i是已知常数, 且与ωi有关;f(t)是关于时间的已知函数, 与电势和外载荷有关;u(t)为未知函数, 与电位移有关;从小到大排列, 与某一特征方程的正根有关, 一般有无穷多个. 在数值计算时, 通常截取前m项.

对于方程(1)的数值解法, 丁皓江[5]等有过讨论: 利用对未知函数在节点上做分片线性插值和分段Hermite插值, 给出了两种递推公式.

注意到方程(1)与ωi有关, 且ωi是越来越大的, 所以当选取项数较多时, 此问题是一个高振荡问题.对于高振荡第二类Volterra积分方程

笔者已有一定的研究. 在拙作[6,7]中分析了带Bessel核和Fourier核的第二类Volterra积分方程的直接Flion方法、分片常数法和分片线性法关于频率的收敛阶. 从分析的结果看直接Flion法和文[5]中的分片线性方法对高振荡问题来说都是非常有效的方法, 它们关于频率2阶收敛, 且频率越大, 计算结果越精确. 直接Flion法计算起来比文[5]中的分片线性方法更简单. 本文用Filon方法的思想求解方程(1).

1 直接Flion方法

在区间[0,t]上利用线性插值

其中u为函数在t时刻的近似值,u0为开始时刻的值. 积分可以利用显式公式解析计算.

2 数值实例

为了更好的对比分析, 采用文[5]中的数值算例.

解析解u(t)=100+50t+2t2+0.1t3. 计算过程中的f(t)由解析解代入方程左端求积分得到. 本文分别采用3种方法求解方程: 文[8]中的面积法(梯形公式求积分), 直接Flion法, 文[5]中的分片线性公式法,并对误差与时间进行比较.

表1 步长△t=0.1

表2 步长△t=1.0

从数值例子可以看出, 直接Filon方法与梯形公式求积分相比, 计算精度更高. 文[5]中的分片线性公式虽然精度比较高, 但后一节点的计算需用到前一节点的信息, 计算量比较大. 而直接Filon法只需用到起始点的信息, 速度明显快得多, 且有很高的并行度, 当t越大时, 优势越明显. 所以对于求解弹性力学中的第二类Volterra积分方程, 直接Filon 方法是一种非常有效的方法.

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[8] Delves L M, Mohamed J L.Computational Method for Integral Equation[M].Cambridge: Cambridge University Press, 1985

Direct Filon Method for Volterra Integral Equation of the Second Kind in Piezoelastic Dynamic Problems

FANG Chun-hua
(College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

This paper focus on the direct Filon method for Volterra integral equation of the second kind in piezoelastic dynamic problems. The present method is simple construction, fast computation speed and high degree of parallelism. The high efficiency is verified by numerical experiment.

piezoelastic dynamic; Volterra integral equation of the second kind; direct Filon method; high efficiency

O241.82

: A

: 1672-5298(2015)04-0013-02

2015-09-29

方春华(1979− ), 女, 湖南新化人，博士研究生, 湖南理工学院数学学院讲师. 主要研究方向: 偏微分方程数值解