方程与函数的巧妙应用

叶超毅

摘 要：函数思想与方程思想二者之间的相互转换及在转换时需要注意的一些问题，用典型的例题阐明用函数与方程思想方法能够轻易解决数学学科中难以突破的部分，并结合中学数学教学，提出教师应该在教学中有意培养学生的函数与方程思想，并且给出了具体可行性的建议。

关键词：函数思想；方程思想；转化思想

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）09-107-02

一、直线与抛物线

当直线 与抛物线 相交时，把它们组成一个方程组

析：这道题初看是在解方程根的问题，但难以着手。若从代数方面来解，则比较难以解决，若利用“数形结合”来解答较容易，其内涵却是利用函数图像解决实数的比较大小问题。数形结合思想是利用几何图形的性质研究数量关系或利用数量关系研究几何图形的性质，使数量关系与几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决的一种数学思想。数形结合思想方法的应用，可帮助我们理解题意，分清已知量、未知量，理顺题中的逻辑关系。

二、直线与双曲线

析：这道题若是化为整式方程则为 ，但学生对这道题应当更为棘手，因为三次方程是高次方程，在初中阶段是没有教如何解的，所以应当转化为现有的知识，把方程的解看作是函数图像交点的横坐标。建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题互相转化，

转化思想是一种最基本的数学思想，基本思路是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把非常规问题化为常规问题，实现不同的数学问题间的相互转化，体现了把不容易解决的问题化为容易解决的问题的思想。

因此，在解有关两个函数图像的交点个数、

或特殊方程的解的个数时。1、如果能画出图像，可以适当借助图像；2、如果图像不能准确画出，则需要利用两个方程组成的方程组的解的个数来

判定；3、两个曲线的交点个数，不能单纯靠消元后获得的一元二次方程的根的个数来判断，即只根据△来判断，比如你消的是y，那么得到关于x的一元二次方程，先判断这个方程的根的个数，并且要判断这个根的范围，因为理论上即便这个方程有解，可能代入抛物线方程后，y有可能无解，还是不能产生交点，也就是说，一定要到方程组的解的个数才能判断两个曲线有几个解；4、正是因为两个曲线的交点如果不是通过几何作图就能判断出而是需要通过方程组讨论得出的话，太过复杂，所在现行教材对这方面要求很低，作为一个初中生，只需要了解一下思想，能依据图像作出判断基本就可以了。endprint