GM(1，1)模型在数控磨床可靠性预测中的应用* ＊

范晋伟 周中源 王泽立 苗 伟

(北京工业大学机械工程与应用电子技术学院，北京100124)

数控磨床是复杂的集机、电、液于一体的高技术设备，是现代化产品加工生产的重要工具。然而，数控磨床在实际生产中经常发生故障停机，对企业的可持续生产产生严重影响，直接关系到企业的经济效益。所以，磨床生产商为了增强自身的市场竞争力，对用户磨床可靠性的预测提出了迫切的要求。

数控磨床可靠性预测的方法主要可以分为两类:一类是基于实际经验的预测方法，即由有经验的专业人员在调查、采样等工作的基础上，结合当时的实际情况，做出预测;另一类方法是建立在历史数据和经验数据的基础上，先建立相应的数学模型，然后利用数学模型进行预测。第1 种预测方法需要积累很多经验，因此不容易学习，传承性很差，而且预测的准确率比较低，预测过程没有坚实的理论基础，说服力比较差;而第2 种方法在预测数控磨床可靠性方面应用比较广泛，预测准确率较高，而且预测过程以数学理论知识为基础，说服力比较强［1］。本文在第2 类方法的基础上提出运用灰色GM(1，1)模型对数控磨床的可靠性进行了科学预测，为磨床用户提供可靠的预测结果。

1 灰色系统基本原理

1.1 灰色系统基本概念

灰色系统(gray system)是指信息不完全、不确定的系统，灰色问题(gray problem)是指结构、特征、参数信息不完备的问题［2］。

系统不完全是指:系统因素不完全明确;因素关系不完全清楚;系统结构不完全知道;系统的作用原理不完全明了。

1.2 灰色系统建模理论

模型是一个系统各种因素(变量)之间的数学关系。灰色系统理论建模的主要任务，是根据工程设计、社会、经济等系统的行为特征数据，寻找因素之间或者因素本身的数学关系。现有的其他建模方法是用离散的数据建立一个按时间做逐段分析的模型，即递推的离散模型。但是这种离散的数学模型有很大的局限性，因为这种方法建立起来的模型，只能表现出系统输入与输出之间的关系，而不能让人们依据此模型把握系统的内部本质。因此人们希望能建立系统的微分方程，因为微分方程可以准确地把握要辨识的系统内部本质。但是微分方程模型可否建立及如何建立，用通常的方法难以给出确定的答案，灰色系统理论通过将任何随机过程都看作是灰色过程，进而建立其近似的微分方程，即灰微分方程。灰色系统理论是利用数据间的关系，来寻找系统的运动规律，从而对灰色过程建立灰微分方程［3］。

GM 模型即灰色模型(gray model)，是用原始数列做一次累加生成后，利用累加数列建立灰色微分方程。由于系统被噪声污染之后，原始数列呈现出离乱的情况，离乱的数列即灰色数列，或者灰色过程，灰色模型就是对灰色过程所建立的模型［4］。

设X(0)为非负准光滑序列，则X(0)一次累加生成序列X(1)具有准指数规律，这是灰色系统建模的理论基础。一般的非负准光滑序列经过累加生成后，都会减少随机性，呈现出近似的指数增长规律，原始序列越光滑，生成后指数规律也就越明显。灰色建模是利用离散的时间序列建立1 个近似连续的微分模型，在这一过程中，利用累加手段生成函数，其生成函数是灰色建模、预测的基础［5］。

2 灰色GM(1，1)模型

GM(1，1)是最常用的一种灰色模型［6］，是由1 个包含单变量的一阶微分方程构成的模型。GM(1，1)模型的含义:其中G 代表灰色，M 表示模型，两个1 分别表示一阶微分方程和1 个变量。此模型的表达形式为:

式中:X(0)(t)为原始数据序列，X(0)t≥0，t=1，2，3，…，n;Z(1)(t)为由原始数据列生成的邻均值数据列。

按照以下步骤建立GM(1，1)模型:

(1)利用原始数据生成数据序列

应用累加生成法对原始故障数据进行生成处理，通过累加体现灰色量积累过程的发展态势，使离乱的原始数据的规律充分显露出来，从而建立灰色预测模型。

设原始故障数据为:

式中:上标(0)表示原始数据列;n 表示数据个数。

设累加生成的新数据列为:

式中:上标(1)表示经过一次累加生成的数据。

(2)对X(0)进行光滑准指数检验

灰色模型是针对符合光滑离散函数的数据建立的预测模型，同时认定生成数列具有准指数规律，建立灰色预测模型时，首先要对数据进行光滑离散检验，然后再进行准指数检验，只有两项都通过后才能建立灰色预测模型，否则采用其他方法进行预测。

对序列X(0)，光滑比ρ(t)=X(0)(t)，X(1)(t－1)，若ρ(t+1)，ρ(t)＜1，ρ(t)∈ [ 0，0.5 ]，则称序列为光滑序列，只有该序列满足了准光滑性的条件，才能建模进行预测。

对序列X(1)，级比σ(t)=X(1)(t) ，X(1)(t－1) ，若∀t，σ(t)=∈ [a，b] ，b－a=δ，δ ＜0.5 ，则称序列具有准指数规律。只有序列X(1)满足准指数规律，才能进行建模预测。

(3)建立GM(1，1)模型的基本形式

对序列X(1)做紧邻均值生成，得序列:

其中

将X(1)(t)拟合成一阶线性微分方程X(0)(t)+aZ(1)(t)=b。

(4)模型的参数估计

按最小二乘法求得参数a、b 的估计值。若a^=(a，b)T为参数列，且

解方程X(0)(t)+aZ(1)(t)=b，求得GM(1，1)预测模型为:

求X(1)的模拟值

(5)模型精度检验

常用的检验模型精度的方法有残差检验、关联度检验、后验差检验。这几种方法都是通过对残差的考察来判断模型的精度。一般情况下常用相对误差检验，也可以同时用这几种方法检验。本文用平均相对误差检验模型精度。

①计算残差

①求相对误差

相对误差序列

③模拟精度检验表

根据表、将Δ－与相对误差a 进行比较，确定模型精度。

表1 精度等级表

3 实例应用

根据某机床厂提供的同一型号数控磨床的故障数据，应用上述灰色预测模型，预测该型号磨床后续故障趋势及下次故障时间，故障数据如表2 所示。

表2 数控磨床故障时间

(1)初步建立预测模型

此型号数控磨床整机故障原始时间序列为:

X(0)= (384，408，480，552，576，648，696，768，864，936，1 176，1 344)。

根据公式(3)作累加生成的新序列为:

X(1)=(384，792，1 272，1 824，2 400，3 048，3 744，4 512，5 376，6 312，7 488，8 832)，对故障序列X(0)作光滑性检验，根据上述光滑比计算公式，得计算结果为:

得到ρ(1)=1.06，ρ(2)=0.61，ρ(3)=0.43 ＜0.5，…，ρ(11)=0.18 ＜0.5，所以当t ＞2 时，序列X(0)满足准光滑条件;

对故障序列X(1)作准指数规律检验，根据上述计算公式得到计算结果为:

σ(t)= (2.06，1. 61，1. 43，1. 32，1. 27，1. 23，1.21，1.19，1.17，1.19，1.18);

得到σ(2)=1.61，σ(3)=1.43∈ [ 1，1.5 ]，…，σ(11)=1.18∈[ 1，1.5 ]，所以当t ＞2 时，序列X(1)满足准指数规律检验;

由上面两点可知，数控磨床故障数据列满足光滑性要求，下面对其建立GM(1，1)预测模型。

(2)建立GM(1，1)预测模型

①根据公式(6)，对X(1)作紧邻均值生成得到序列为:

令

②参数估计

对参数进行最小二乘估计，得到下面估计结果:

③根据公式(7)确定模型时间响应式为:

④根据上式求得X(1)的模拟值为:

表3 模型检验

即X(0)(t)=353.72 ×e0.1164t，t =1，2，…，n。预测模型相应的函数曲线如图1 所示。

此型号数控磨床在考核期内发生了12 次故障，根据故障预测模型函数可知，它可能在1 606.3 h 发生第13 次故障。

4 结语

运用灰色GM(1，1)模型预测对数控磨床原始故障数据进行处理，得到的序列具有较好的准光滑性，其累加生成序列也具有良好的准指数规律，有效地提高了预测的精确度和可靠度，较好地解决了统计样本数据少、信息贫乏的难题。通过建立的故障预测模型成功地预测出了数控磨床下次故障时间，这样就为维修人员提供了理论依据，他们可以及时对磨床进行检查，发现潜在的故障予以解除，减少停机时间，为企业带来生产效益。

［1］余香梅，罗良玲. 基于神经网络的数控机床可靠性预测的研究与实现［J］. 现代机械，2007(2):50 －52.

［2］邓聚龙. 灰色系统理论教程［M］. 武汉:华中理工大学出版社，1990.

［3］孙要伟.灰色神经网络GNNM(1，1)批处理算法的收敛性［D］. 大连:大连理工大学，2009.

［4］钟珞，饶文碧，邹承明.人工神经网络及其融合应用技术［M］.北京:科学出版社，2007:91 －92.

［5］王自力.航空可靠性工程技术与应用［M］. 北京:国防工业出版社，2009:299 －300.

［6］朱晓翠.基于灰色理论的数控机床可靠性及维修性分析技术［D］.长春:吉林大学，2013.