含左手材料与Kerr 非线性不定介质缺陷层一维光子晶体双稳态位移的动态调制

孔猛

（北京师范大学珠海分校工程技术学院北京519087）

含左手材料与Kerr 非线性不定介质缺陷层一维光子晶体双稳态位移的动态调制

孔猛

（北京师范大学珠海分校工程技术学院北京519087）

根据传输矩阵法和稳态相位理论，在五个不同的频率范围内研究光束在含左手材料与Kerr非线性不定介质缺陷层一维光子晶体中的非线性传播特性。结果表明：当非线性不定介质缺陷层为cut-off和never cut-off介质时，透射光强随入射光强的变化呈S-型曲线关系，也就是说透射光强与入射光强存在光学双稳态特性。同时，透射光束的横向位移随入射强度也呈现出回滞曲线响应关系，并且通过改变入射光束的频率，可以实现一维光子晶体横向透射位移的动态调制。

一维光子晶体非线性不定介质双稳态位移

一尧引言

随着人造媒介的发展，特别是超常材料（metamaterials）[1]的出现大大的拓展了电磁材料的特性研究。典型的超常材料如介电常数ε和磁导率μ同时为负值的负折射率材料，因为电磁波在这种材料中传输时其波矢→，电场→和磁场→形成了左手关系[5]，故又称为左手材料（left-handed materials）。电磁波在左手材料中传输时会出现许多反常物理现象，如负折射率、逆Doppler效应、逆Cherenkov效应和完美透镜等[2]。值得关注的是，D. R. Smith等[3]首次发现各向异性的特异材料——不定介质（indefinite metamaterials），不定介质这一新型材料立即成为物理学，微电子学以及信息技术等领域的研究热点。

近年来，随着对GH（Goos-Hänchen）位移[4]研究的深入，非线性GH位移亦引起了广泛关注，如O. Emile等[5]在实验上探测到自聚焦Kerr非线性介质界面处的非线性GH位移，Y. S. Kivshar等[6]研究了空间光孤子在向列液晶表面处的非线性GH位移特性，P. Hou等[7]研究了含通常Kerr非线性缺陷一维光子晶体双稳态位移的特性等。本文研究光束在含左手材料与Kerr非线性不定介质缺陷层一维光子晶体中的非线性传播特性，分析入射频率对双稳态位移的影响。

二、物理模型与推导

考虑一个对称的多层膜结构(AB)mANA( BA)m作为一维有限维光子晶体结构，晶体两侧的对称介质C(εC,μC)为右手线性材料。A(εA,μA)为右手线性材料，B(εB,μB)为左手线性材料，N(ˆN,ˆN)为非线性不定介质，m为周期数。介质层A，B和N的几何厚度分别为dA，dB和dN。由于非线性各向异性超常材料的介电常数εˆN和磁导率μˆN是二阶张量，为使讨论的问题简化，D. R. Smith等[8]假定材料的结构参数εˆN和μˆN可以同时对角化。在这种情况下，介电张量和磁导率张量可分别表示为：

其对角分量εxx可以表示为，ε和χ分别为该分量的线性介电

x3常数和Kerr非线性系数。为简单起见，我们忽略非线性材料的吸收特性。εx，μyy和μzz的色散关系可通过Drude模型来描述，即：（2）

其中Ω=ω/ ωp为归一化的入射光频率，Ωry=ωry/ωp和Ωrz=ωrz/ωp分别为y方向和z方向上的归一化磁共振频率，ωp为电等离子频率，Fy和Fz分别表示开口环谐振腔在y方向和z方向所占区域的比例系数。

假设一角频率为ω的平面电磁波从左侧各向同性均匀右手材料中以入射角θ0入射到光子晶体中。我们假定入射电磁波的波矢位于y-z平面，入射电磁波的电场可以表示为，其中β和k分别是入射电磁波Cz波矢在分界面y方向和z方向的分量，。这里我们只考虑TE偏振波，对于TM偏振波的处理方法类似。

根据Maxwell方程组及边界条件，相邻任意两层的电场分量和磁场分量可以通过传输矩阵相连接[9] 。对于Kerr非线性不定介质层，传输矩阵可表示为：（3）

式中，kz+和kz-分别为前向波和后向波波矢在z方向上的分量，且他们均依赖于前向波和后向波的电场强度U±，即：（4）

+-Nz不考虑非线性效应时缺陷层中电磁波波矢在z方向上的分量，满足以下形式：（5）

这里要注意的一点是kNz的符号必须与μyy保持一致[10]。

对于一给定参数的透射强度，我们可采用定点迭代法[11]求解一组关于U±的非线性耦合方程，便可以得到Kerr非线性不定介质层传输矩阵MN的具体形式。利用传输矩阵法，可以得到透射系数：（6）

三、数值计算与分析

由式（2）可知，通过调整相应的结构参数与入射光频率，可以在不考虑非线性效应的情况下实现对不定介质张量元εx，μyy和μzz正负符号的转换。从式（5）可看出，正是由于张量元εx，μyy和μzz不同符号的组合，使得这种材料的色散关系或者为椭圆关系，或者为双曲线关系。因此不同类型的Kerr非线性不定介质将会对一维光子晶体的电磁传播特性产生不同的影响。在计算中，各物理参数选择如下：对于Kerr非线性不定介质N[13]，Fy=0.56，Fz=0.78，ωp/2π=18.4GHz ，ωry/2π=ωrz/2π=15.3GHz，χ3=0.01，对于线性材料A，B和C[14]，εA=5.29，εB=-2.46，εC=6.25，μA=μC=1.00，μB=-1.00，m=3。Kerr非线性不定介质的张量元εx，μyy和μzz均与入射频率有关，在不同的入射频率范围内这些物理量有着不同的符号，为了更明确地研究光束在含左手材料与Kerr非线性不定介质缺陷层一维光子晶体中的电磁传播特性，接下来我们将在五个不同的入射频率范围分别进行讨论。

（i）0＜Ω＜0.8315，此时εx＜0，μyy＞0，μzz＞0，即always cut-off 介质的一种情况。在这种情况下，kN2z总是负值，任何电磁波都不会透过这种介质板，而是被全部反射回来。

（ii）0.8315＜Ω＜1，这里εx＜0，μyy＜0，μzz＜0，此时当入射角θ0满足θ0＜θc=arcsin时，由式（5）可知，波矢kNz为实数。那么，电磁波便可以透过含此类型的非线性不定介质的一维光子晶体。这种材料是cut-off 介质的一种情况，在不考虑Kerr非线性效应时，具有负折射效应。

（iii）1＜Ω＜1.2536，这里εx＞0，μyy＜0，μzz＜0，即always cut-off 介质的另一种情况，电磁传播特性与（i）类似。

（iv）1.2536＜Ω＜1.7728，这时εx＞0，μyy＞0，μzz＜0，在这种情况下，kN2

z总是正值，任何电磁波都可以在含这种never cut-off非线性不定介质的一维光子晶体中传播。因此，当光束以任何角度入射到这样的一维光子晶体时，均可以产生透射位移。

（v）1.7728＜Ω，此时εx＞0，μyy＞0，μzz＞0，即cut-off 介质的另一种情况。当入射角θ0满足条件θ0＜θc=arcsin时，由式（5）可知，电磁波同样也可以透过含此类型的非线性不定介质的一维光子晶体。

下面，我们针对（ii）,（iv）,（v）三种情况下的非线性传播特性分别进行详细讨论与分析。

3.1 0 .8315＜Ω＜1（εx＜0，μyy＜0，μzz＜0）

当Kerr非线性结构作为缺陷嵌入到一维光子晶体的中间时，禁带中相应出现缺陷模频率。由于缺陷层中强烈的非线性效应，导致缺陷模频率随入射光强度

的改变发生移动，当缺陷模频率与入射光频率接近时，产生双稳态现象[15]。数值计算中，我们采用的参数为：θ0=20°，ω/2π=16.07GHz ，

根据稳态相位法分析，曲线的斜率表明透射光束的双稳态GH位移为负值。在一个非常狭窄的β区间内（β/k0=0.8551），当入射光强度在[1.31500,1.40600]区间内增大时，曲线斜率突然变陡，表示透射光束的GH位移S在高阈值点2处发生跃变，下跳到一个较大值；当入射光强度在区间[0.04092,0.02669]内减小时，曲线斜率发生跃变，即S在低阈值点1处达到负最大，然后上跳到一个较小值。

此时一频率为ω/2π=25.17GHz的平面电磁波从左侧各向同性均匀右手材料中以入射角θ0=30°入射到含这种never cut-off非线性不定介质的一维光子晶体中，在这种情况下，可以得到负的双稳态GH位移。此时所得的结果与（ii）类似，但双稳态GH位移的峰值略小，仅为10.65个波长。透射光束相位φt在高阈值与低阈值处发生跳变。

当入射光强度从一个大于高阈值点处的值开始减小时，S随之增大，当入射光强度减小到低阈值点时，S在此处达到正最大值。透射光束相位tφ的斜率在高阈值与低阈值处发生跃变，这恰恰说明了透射光束双稳态GH位移的合理性。

四、结论

本文利用传输矩阵法和稳态相位理论，在五个不同的频率范围内研究了光束在含左手材料与Kerr非线性不定介质缺陷层一维光子晶体中的非线性传播特性。研究表明当非线性不定介质缺陷层为cut-off和never cut-off介质时，透射光强与入射光强存在光学双稳态特性。。研究成果为制作高性能的光电探测及光开关器件提供了有益的参考。

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[8]D.R.Smith,D.Schurig,Phys.Rev.Lett.90,077405(2003).

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