一类特殊的高阶等比数列研究

姜宏菊

摘 要：研究一类特殊的高阶等比数列，给出其定义、通项公式、性质、前n项积，并在求通项公式的过程中证明了高阶等差数列的性质。

关键词：高阶等比数列；通项公式；逐差法；数学归纳法；应用

一、引言与定义

在已经学习过的数列中，我们已深入的研究过等差数列、等比数列、高阶等差数列。在与数列相关的文献资料中，也介绍了高阶等比数列的相关内容，本文将研究高阶等比数列中的一类特殊形式的数列.

定义1.an为一个数列，称 为an的一阶比数列，称Qan= （n=1，2，3，…）为an的一阶比数列，简称比数。Qan的一阶比数即Qan2（n=1，2，3，…）称为an的二阶比数.以此类推，Qanm（n=1，2，3，…）称为an的m阶比数。若？埚m∈N，使得Qanm为一个不为1的常数列，则称an为m阶等比数列.当m>2时，m阶等比数列统称为高阶等比数列.

如数列：（1）1，5，10，16，23，…

（2）1，2，4，7，11，…

（3）2，4，16，128，2048，…

通过观察分析可知：（1），（2）都是二阶等差数列，（3）中每一项都是2的倍数，可写成21，22，24，27，211…，发现（3）是二阶等比数列，且其指数按照先后次序组成的数列为二阶等差数列.本文旨在研究如（3）这样一类特殊的高阶等比数列.

性质：如果一个数列可以写成A ，A ，A ，…A ，…（底数A≠0且A≠1），则A 为m阶等比数列的充要条件为其指数列an为m阶等差数列（m∈Nr）.

证明：先证充分性，即由指数列an为m阶等差数列推出A 为m阶等比数列，运用数学归纳法.

当m=1时，指数列an为一阶等差数列（即等差数列），则an-an-1=d，（n≥2，d≠0），所以，A =Ad为常数列，那么A 为一阶等比数列.

假设当m=k时，结论成立.即其指数列an为k阶等差数列，则A 为k阶等比数列.

那么当m=k+1时，指数列 为k阶等差数列，则A 为k阶等比数列，所以，A 为k+1阶等比数列.

下证必要性，即由A……