培养解题反思习惯，提高数学思维品质

林忠云

摘 要： 在数学学习过程中解题能力的培养是我们共同的目标，而解题反思是提高解题能力的关键.通过反思问题条件、解题过程、解题规律和题目特征，可以不断积累经验，提高学生思维的整体性、深刻性、敏捷性和创造性，激发学生对数学探索的兴趣，培养学生数学思维能力.

关键词： 数学学习 解题反思 思维品质 数学思维能力

“思之自得者真，习之纯熟者妙”.学生在数学学习中如果缺乏解题反思，那么他们的数学思维将不可能会有很好的提高，同时也很难再进行更深入的学习，更不可能有创新思维的品质.学生的思维品质和数学能力要想得到优化与提高，数学教师必须引导学生进行解题反思，促使学生能从多角度、多层次的全面考察、分析和思考问题，通过思考、再思考学生才易获取新知，解题思路、方法可得到拓宽与优化，知识也就得到了同化与迁移，并能提高学习效率和问题解决的创新能力.笔者结合平时的课堂教学实践，对解题反思的培养谈谈看法.

一、反思问题条件，提高思维整体性

平时学生在解数学题时，往往不善于抓住问题的各个方面，通常容易忽视其中的重要细节，没有充分考虑到条件中的深层含义，而造成最终的解题失误.

如学习了二次函数后，很多学生会出现下例中的错误.

例2：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13cm，BC=12cm，设P、Q分别为AB、AC上的动点，并分别从B、A两点同时出发沿BA方向和AC方向做匀速移动，当Q移动到C点时，P、Q同时停止移动，移动速度均为1cm/s，设P、Q移动的时间为t.求：当t为何值时，使△APQ的面积S最大，S的最大值是多少？

图1

错解：如图1，过P作PD⊥AC于D点.

由题意可知：当P、Q移动的时间为ts时，则AQ=t，AP=13-t，而△APD∽△ABC

∴■=■，即PD=■·BC=■

∴S=■AQ·PD=■t·■=-■（t-■）■+■

∵a=-■<0

∴函数S有最大值

∴当t=■时，△APQ的面积最大，S■=■.

通过反思，学生能记住“当a>0时，函数y有最小值；当a<0时，函数y有最大值”.同时也能发现错误的原因：是忽略了题目中的条件“函数自变量t的取值范围”，因为可求出AC=5cm，所以P、Q移动时间t的取值范围是：0≤t≤5，故t取不到■的值，根据a<0和对称轴t=■，可知函数S的图像在对称轴的左边，且S随t的增大而增大，所以△APQ的最大面积不是■cm■，而是当t=5时，△APQ的最大面积为■cm■.

通过以上反思训练，学生领悟到读题一定要仔细，要注重知识的整体结构和对隐含条件的挖掘，注重知识的纵横联系，要做到“吃一堑，长一智”，从错误中得到教训.由于在解题中学生通常会出现审题上的漏洞，因此必须养成对题目条件的反思习惯，做到对问题条件的有效捕捉、提取和组合，才能更好地索取新知，提高思维的整体性.

二、反思解题过程，提高思维敏捷性

“欲穷千里目，更上一层楼”，解题过程的关键就是要能从已知和未知中找到解题最佳途径.完成一道题后，我们不能只做简单的检验和回顾，而是要引导学生进行多层面的观察、联想和反思，对解题过程进行分析比较，找出最佳解法，开拓学生思路，培养学生具有“从优”、“从快”的解题思维，使学生的思维敏捷性能在变换与化归过程中得到培养和提高.

例3（2015年福建南平市质检卷第10题）：如图2，线段AB=10，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上滑动（滑动过程中线段AB的长保持不变），⊙O与线段AB相切于C点.求当点A横坐标为多少时，⊙O的面积最大，最大面积是多少？

图2

在解答此题时，我发现大多学生都会想到当⊙O的半径OC最长时，⊙O的面积最大.这时就会设A点的横坐标为x（x>0），根据Rt△ABO可求得OB=■，

再由ΔAOC∽ΔABO就可得：■=■，即：OC=■■

∴OC■=-■（x■-50）■+25，∴当x■=50时，OC■的最大值为25，

∵x>0，∴当x=5■时，⊙O的面积最大，S■=25π.

此解法虽比较直接，却也灵活运用了相似三角形的性质和二次函数最值求法.

但在试卷讲评时，我就引导学生对本题题目特征及解题过程进行反思，并提出：“圆周上的点到定直径的距离的取值范围是多少？”引导学生能否换个思路求解.通过教师引导，师生共同反思、讨论，本题看似线段AB在动，而在解题中实际可看成线段AB不动，而是点O在动，点O的运动轨迹就是以AB为直径的半圆（如图3），所以OC最大值就是半圆的半径5，

此时△AOC为等腰直角三角形，所以OA=5■，又因为x>0，

所以当点A横坐标为5■时，⊙O的面积最大，最大面积是25π.

图3

通过此题的解题过程反思，引导学生再次认真审题、思考后，对题目的条件、结论能更深入地理解，特别是本题中由“线”动到“点”动的思维变化，让学生的思维得以激活，促使学生解题思路得到巧妙变化，使各种解题技能、技巧与方法得到相互渗透，解题过程得到优化，学生思维的敏捷性得到培养，解题能力得到发展与提高.

三、反思解题规律，提高思维深刻性

在数学课堂教学中，教师举的例题或练习一般都会是一种类型题的代表，解题方法往往都会有其规律性，因此，在课堂教学中教师所选的例题或练习都要精挑细选，并在例题或练习得到解决后都要有意识地引导学生进行解题规律的反思，找出解决问题的普遍适用性规律，并对今后的问题解决有所帮助，从而提高解决问题思维的深刻性，形成良好的思维品质.

如在学习二次根式化简时，我就让学生做了如下判断题.

例4：判断下列各式是否成立？

（1）■=2■ （2）■=3■

（3）■=3■ （4）■=4■.

学生通过运算，很快就得到第（1）、（3）、（4）题成立，第（2）题不成立.

这时我就趁热打铁，引导学生认真观察各式的构造，反思、探索各小题的解题规律，并向学生提出：请用一个式子表示出第（1）（3）（4）小题的运算规律？

学生通过观察探索，能得出一般式：■=n■（n为大于1的整数）.

让学生透过问题表象，洞察其本质，对解题规律反思，能由特殊到一般的规律归纳，得出一类问题的解决方法，同时提高了学生思维的深刻性.

四、反思题目特征，提高思维创造性

阿西莫夫说“创新是科学房屋的生命力”.而对题目特征的反思，将能够对题目进行逐步引申、变式和推广，能够更深入地思考、认识问题并解决问题，并挖掘、拓展出所学知识的深度和广度，让学生在思考问题时另辟蹊径，会有求变、奇异的想法，从而培养学生具有创造性的思维品质，提高学生的思维发散与应变能力.

如在中考复习时，我给学生显示如下例题.

例5（2013年福建南平市中考卷第25题）：如图4，在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB.设■=k.

图4

（1）证明：△BGF是等腰三角形；

（2）当k为何值时，△BGF是等边三角形？

（3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立.利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围.

在学生求解原题后，我引导学生进行对题目的条件与结论互换，或使图形发生变化，让学生在条件或图形的变化中观察、发现其中隐含的不变量，从中找出规律，达到培养学生创造性思维的目的.

变式一：如图4，原题中的条件只是把“EF⊥AC”改为“△BGF是等腰三角形”，而其他条件均不变.结论改为如下：

（1）求证：EF⊥AC（或EF与AC有何位置关系？并说明理由）；

（2）当k=1时，判断△BGF是什么三角形？当k=时，△BGF又是什么三角形？并说明理由.

变式二：如图5，已知AB⊥BE于B，EF⊥AF于F，G为AE中点.

（1）求证：A、E、B、F四点在同一个圆上.

（2）若EB、AF的延长交于C点，且AB=BC，则判断BG与FG的位置关系，并说明理由.

图5 图6

图7 图8

（2）如图8：若B、F在直径AE两侧，其他条件均不变，则（1）中的结论是否均成立？并选择其一说明理由.

这组变式题，证明思路均来源于课本的例题、习题，但通过对原题的条件和图形进行适当的变形和引申，可将知识、能力和素质融为一体，并能体现数学知识与数学能力并重的解题思路.本题以合情推理开始，渗透探究意识自始至终，引导我们从教与学这两个方面对学生的探究能力和创新精神进行培养，让学生能积极探求、大胆猜想、深入挖掘，同时引导教学由结果教育向过程教育的转变.

五、结语

居安思危，思则有备，有备无患，故解题必须反思，而本文只是对问题理解、解题过程、解题规律、问题特征进行反思探索.教师通过在课堂教学中的示范、引导，让学生逐步养成具有反思的意识和习惯，从而提高学生分析问题、解决问题的能力，使学生的数学思维得到优化，学习效率得到提高，创造兴趣和创新意识得到激发，成为创新型人才.

参考文献：

[1]谭远森.《在反思中“破茧”在学习中高飞》.《中学教学参考》，2009.6.

[2]林婷.《数学探究性教学中应树立几种意识》.《数学教学通讯》，2005.1.

[3]夏克旺.《数学学习中常见错误的分析与防止对策》.《中学数学教育》，2005.6.