从体育视角看“变教为学”的文化性

王赫彤

随着课程改革的深入进行，育人为本的理念受到了广大教师的重视，据此郜舒竹教授开展了以“变教为学”为主题的一系列研究。变教为学的主旨是在“以学为主”的理念下，学生自主或者合作开展学习活动，通过这些活动完成教学目标。也就是说，课堂中的主体要由教师转变为学生，在明确一堂课需要“学什么”之后，还需要思考如何让学生在学习数学的过程中获得多方面经验，在经历社会活动的过程中习得相关数学知识。针对此类问题，探究数学课程内容以及教学的文化性是有所裨益的。这里所说的“文化性”是相对“工具性”而言，更重视知识的发生和发展的“过程性”“多样性”以及“人文性”，尽可能地让数学课程呈现出与人的情感、思维、行为、习惯等因素相关的事物或事件。[1]那么，教师在挖掘知识本质，沟通新旧知识联系的同时，如何突显数学课程内容的文化性是需要思考的问题。将数学课程内容与人文学科进行联系，可以彰显数学课程内容的文化性。

从体育学科的视角看小学数学课程内容是一件有价值的事情，也是一个新的尝试。其价值性体现在体育活动与健康紧密相关，体育学科更符合小学生活泼好动的天性。若将体育内容融入数学教学，可以激发学生在数学学习活动中的兴趣，更好地实现变教为学。经过探究发现，小学数学课程内容与体育的关系密切。下面就从体育视角出发探讨如何实现变教为学的文化性，以“圆的面积”“负数的认识”两课为例，说明如何选择与“体育”相关的教学情境以及如何将知识的本质在活动中体现出来。

一、活动情境的选择

学生可以自行完成教学目标是变教为学课堂的主旨。为了保证教学的顺利进行，教师需要清楚学生可以“怎样学”。活动情境的选择是教学设计中重要的一部分，它要贴近学生的生活经验，更要突显数学的文化性，下面从体育视角对数学教学情境的创设提出一些新的思考。首先，所选择的体育问题要与本课的数学思想紧密相关，让学生因“需要”去用数学。为了达到这个效果，课程起始所用的活动情境要有能支撑起后续活动的特点，让学生能够带着问题进行随后的活动。其次，变教为学提倡的学习是主动发现与发明的过程。因此，情境应该具有启发性，问题的解决过程要能激发学生探索知识的欲望，促使学生深入思考，引导学生在解决问题的过程中体验数学思想在社会活动中的重要性。下面以六年级“圆的面积”教学为例作进一步说明。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》[2]中提出“探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题”。这就需要思考什么样的活动情境可以同时达到上述两个目标，既可以提升探究公式的兴趣，又可以解决情境中的问题。对于“圆的面积”的活动引入，一种较为普遍的方式是计算草坪上的自动旋转喷水器的洒水面积，学生根据情境立刻就会想到去求圆的面积。诸如此类实例的特点是直接快速地引出本课内容，但不足以贯穿活动始终，对学生兴趣的激发也有待加强。为此，尝试以学生熟悉的足球运动引出教学。所创设的情境是运用数学方法思考足球场的面积为多大时，可以保证比赛顺利进行。“活动一”的任务如下：在足球比赛中，足协规定每支参赛队伍11名球员（其中包括一名守门员），一名球员在控球时会发生三种动作：得球、确定传球方向、传球。每一个动作所需时间大约是1秒，运动员在控球时的运动速度大约为5m/s。根据这些条件，可以得出哪些结论？这一活动给了学生足够的思考空间，学生可能会求出一名球员控球总时间为3秒，可能求出每名球员控球时将跑出3×5=15米的距离。所用的数学思想包括之前学过的速度与路程的关系、乘法的意义。接下来，在“活动二”中让学生运用数学方法思考如何推导出球场的最佳面积。通过讨论，学生可能会想到先确定每名球员控球时的运动范围。这会促使学生回忆自己在足球运动中的场景，再结合“活动一”中所求出的数据，从而进一步产生探索圆的面积公式的兴趣。思考过程如下：如图1所示，由于每名球员控球时将跑出15米的距离，根据已有经验，他跑的方向可能向四面八方，便可计算他在控球时的运动范围，这个范围是以15米为半径的圆的面积。从“活动二”可以看出，当学生经历了一系列思考，最终产生了求圆的面积的需求时，这种探索欲会更加强烈。

图1 足球场上球员控球时的运动范围

“活动三”是本节课的核心，探究圆的面积公式，也就是求出每名球员控球时的运动面积。学生可能会剪下一个圆形，利用拼剪的方法转化成平行四边形求得圆的面积公式，也可能会用将同心圆转化成三角形的方式推导出圆的面积公式，此处不再赘述。最终，利用公式求出结果，即每位运动员在控球时的运动范围约是707m2。“活动四”的任务是进一步推测整个球场的面积，并思考这样计算的合理性。即将每名球员所需要的最佳运动范围707m2与每队上场队员10人（去除一名守门员）相乘得到所有球员在运动时覆盖的总面积约为7070m2，这就是球场的最佳大小，它保证了球员之间不会发生拥挤也不会距离过远。通过查阅数据，与足协规定的7140m2大小接近。从这个实例中，学生感受到了数学思想在比赛场地设计中的实际应用，丰富了数学的人文内涵，获得了除数学知识以外的经验。

二、知识本质的体现

在郜舒竹教授的《“变教为学”说备课》[3]一文中提到，教师应当准确把握知识点的本质属性。在学科融合的过程中，要时刻谨记上述要求。因此，在设计与“体育”相关的学习活动时，要让学生能在活动中感受到知识的本质就需要教师根据内容本质选择恰当的活动，具体方式以“负数的认识”一课为例。

负数作为一类新数出现在小学数学第二学段中，是建立在学生对“正数”理解的基础上引入的。负数的出现，颠覆了学生已有的对数的认识。因此，要让学生认识到负数出现的必然性就需要让学生认识到负数是人类社会活动的产物。在活动设计之前，先从负数的历史来了解其本质是必要的。从人类的实践经历来看，生产生活中常会出现盈利与亏损、增加与减少、卖出与买入、上升与下降等现象。这些在数学中都是对立事件，是相反意义的量。战国时李悝的《法经》中已经出现使用负数的实际例子：“衣五人终岁用千五百不足四百五十。”这里的不足就是生活中所说的亏损。“在古代商业活动中，以收入为正，支出为负；在古代农业活动中，以增产为正，减产为负。”[4]像碰到这种具有相反意义的量，人们希望用具体数字表示这种关系。由此可看出负数的本质之一是描述相反意义的量。而负数的另外一个本质是表示小数减去大数所得的差，这一点可以从《九章算术》第八卷的“方程章”中看出。在这一章中主要讨论了方程组求解的问题，并记载了正负数的加减运算法则。在解方程运用消元法时，常常会遇到小数减大数的情况，尤其是在移项的过程中这种情况更为常见，而且方程的解也不一定是正根。“在使用遍乘直除算法消元时可能出现减数大于被减数的情况，这时如果不引入负数就不能保障直除的顺利进行。”[5]这说明为了使方程组能够继续解下去，并且能够表示出小数减去大数的结果，人们发明了负数。

为了让学生对负数的本质加深理解，就需要在活动中进行体验。以往负数的教学设计常以温度、海平面引出。参考美国麦格劳—希尔公司出版的加利福尼亚州小学数学教科书[6]发现，高尔夫运动中蕴含有负数的思想。高尔夫球虽是大家都听过的健身项目，但对于它的具体规则多数人是陌生的，这在学生看来是较新颖的素材。现代高尔夫球运动诞生于苏格兰的圣·安德鲁斯，17世纪高尔夫球运动被欧洲人带到了美洲，19世纪20年代，传到了亚洲，最后又传到非洲，并成为权势和财富的象征。现在高尔夫球运动已成为足球、网球之后公认的世界第三大运动。[7]高尔夫球的计分方法分为两种：比杆赛和比洞赛。其中比杆赛较为常见，就以此为例。比杆赛是将每一洞的杆数累积起来，待打完一场（十八洞）后，把全部杆数加起来，以总杆数来评定胜负。[8]国际通用的标准杆是72杆，如果球员用80杆打完十八洞，他的成绩就记为+8杆。如果用70杆打完，那么他的成绩就记为-2杆，所用杆数越少成绩越好。可以看出，总杆数只要少于标准杆，成绩一定是负数，这表示了负数的本质之一：小数减大数所得的差。根据上述介绍，“活动一”先让学生利用字典查找“正”“负”的含义。字典是学习数学的新型工具，在语文学习中字典有助于学生理解字义，在数学学习中字典让抽象的数学语言形象化。通过字典在了解了正和负的字面含义之后，设计“活动二”，让学生在具体情境中理解负数。首先介绍高尔夫球运动的计分规则，出示几个球员完成比赛打的总杆数，例如：74杆和70杆，让学生列式表达出他们的成绩，即（74-72）分和（70-72）分。从而发现算式70-72会得出一类新的数，用“-2”表示，读作“负2”，它来自于小数减去大数所得的差。这个活动不仅让学生了解了一项新的体育运动规则，而且从本质上感受到了负数存在的必要性。在“活动三”中，先欣赏一段球员的比赛视频，给出一组成绩，让学生先比较分数的大小，再判断名次。谈谈高尔夫球运动的分数和名次的关系与其他运动相比有什么不同。通过这个活动，可以帮助学生认识正负数的大小。“活动四”的任务是让学生试图在一条数轴上表示出“活动三”中各球员的成绩。目的是借助数轴理解数的大小比较规律以及0的特殊性。最后，在课程结束时让学生读一读负数的历史，再次体会负数的本质。以上四个活动都是由一项体育活动引出，任务既包含了对负数本质的理解、完成了教学目标，也渗透了数学的文化。

上述两个教学设计从情境素材的选择以及知识本质的体现方面说明了如何利用“体育”设计学习活动，两个完整的教学设计实例不仅可以为“变教为学”的文化性研究提供参考，也可以促进数学与体育学科间的整合。这样的设计思路有助于学生开阔眼界，使学生从多个角度思考问题，并且提升了学生的人文素养。

【参考文献】

[1] 郜舒竹.“变教为学”的文化性[J].教学月刊小学版（数学），2014（9）：9.

[2] 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

[3] 郜舒竹.“变教为学”说备课[J].教学月刊小学版（数学），2014（1-2）：4.

[4] 陈振良.中国人最先使用负数[J].数学教学通讯，2005（7）：92.

[5] 李文林.数学史概论 [M].北京：高等教育出版社，2000：126.

[6] California Mathematics Grade 1-6[M].The United States： McGraw-Hill Companies，2009.

[7] 曹雅琴.论高尔夫球的起源与发展[J].体育文化导刊，2006（6）：82.

[8] 曲秀燕.现代体育运动项目概述[M].北京：北京体育大学出版社，2008：178.

（首都师范大学初等教育学院 100048）