“三角形内角和”如何变教为学

“三角形内角和”这一知识点的学习，在我国小学数学课程和初中数学课程中都有涉及。对于这一结论的严格叙述应当是“平面上任意三角形的三个内角之和等于180度”，之所以要限定“平面上”，是因为在球面上的三角形其内角之和就会大于180度（见图1）。

图1 球面三角形

一、历史探源

关于“三角形内角和”的相关结论曾出现于古希腊欧几里德（约公元前325年～公元前265年）所著的《原本》（Elements）中，其中第32个命题包含两个结论，第一个结论为：“任意三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，”第二个结论为：“三角形三个内角等于两个直角。”[1]（见图2）

图2 《原本》英译本中第32个命题

历史上在还没有角的度量单位“度”的时候，通常是用“直角”和“平角”作为角的度量标准，小于直角的角叫作“锐角”，大于直角且小于平角的角叫作“钝角”。小于平角的角叫作“劣角”，大于平角的角叫作“优角”。《原本》中所说的“两个直角”就是现在所说的“180度”。

《原本》中关于三角形的这一命题，历经2000多年备受青睐。在美国威斯康辛大学图书馆收藏的一本名为《大众宗教成果》（Popular Religious Works）中记载了17世纪法国数学家布莱兹·帕斯卡（Blaise Pascal，1623年6月19日～1662年8月19日）年幼时的一则故事（见图3）。

图3 记载帕斯卡年幼时故事的原文

帕斯卡12岁的时候，喜欢独自在地板上摆弄小棒，拼摆各种几何图形。在这样的过程中，他的父亲惊讶地发现小小年纪的帕斯卡，能够独立得到古希腊《原本》中命题的结论“三角形三个内角之和等于180度”。因此知道帕斯卡对于几何图形及其之间的关系非常敏感，因此就将欧几里德的《原本》给他阅读，帕斯卡很快就掌握了其中的内容。

在我国小学数学教学中，为了体现所谓的数学文化，有教师会在教学过程中介绍这个故事。介绍时常常会说这个结论是法国数学家帕斯卡最先发现的，这显然是个误会。由于这一内容通常安排在小学四年级或五年级，学生年龄大约为10岁或者11岁。所以有教师会说：“同学们学会这个知识的年龄比帕斯卡还小呢，说明你们比帕斯卡更棒。”这种说法对学生其实是一种“欺骗”。帕斯卡的数学才能绝不仅仅体现于知道还是不知道这个结论，而最主要的是他对数学探究强烈的动机，在玩耍的时间（Play Time）仍然沉迷于摆弄小棒。另外，帕斯卡是在没有任何教师引导的情况下，完全独立地探究出结论，而且能够运用许多数学原理进行解释和验证。教师在教学中应当尽量避免将学生与历史人物进行攀比，更不要在学生中形成“攀比与竞争”的氛围。[2]攀比与竞争的氛围对学生的发展是有负面作用的。

二、教学设计

人民教育出版社出版的《义务教育教科书数学-四年级下册》中，关于这一内容的学习设计了两个学习任务（见图4）。

图4 教科书示意图

画几个不同类型的三角形。量一量、算一算，三角形3个内角的和是多少度。

先把一个三角形的3个角剪下来，再拼一拼。看一看，拼成了一个什么角。

这两个任务的共同点是直接说出了操作的方法，也就是直接告知学生“怎样做”，这样会使学生缺失探究动机的感受，也就是缺失了对“为什么要这样做”的思考。另外，这两个任务都是将探究的目标直接定位于定量的结论“180度”，因而就缺少了对在“运动与变化中发现不变因素”探索规律的过程，也缺少了对这一结论定性的感知。

实际上，“平面上任意三角形的三个内角之和等于180度”中的“任意”二字，体现了这一结论的客观性、规律性和普遍性。客观性指的是结论的成立与否不依人的意志为转移；规律性指的是“运动与变化”的过程中具有“不变”的因素；普遍性指的是只要是平面上的三角形都具有一个共同的属性。这一结论从本质上说应当分为两个命题分别叙述。

结论1：平面上任意三角形的三个内角之和是固定不变的常量。（也可以叙述为：平面上任意两个三角形的内角之和都相等）

这样的叙述从定性的角度揭示了三角形的属性。无论什么样的三角形，只要是三角形，其内角之和都不会改变。在此基础上，人们自然关心的问题就是，这个常量是多少？因此就得到定量的描述。

结论2：平面上任意三角形的三个内角之和等于180度。（欧几里德《原本》中的叙述是：平面上任意一个三角形的三个内角等于两个直角）

此类内容在数学课程中属于“规律性”知识，也即是对客观规律的描述。关于规律性知识的认识实质上是“发现（Discover）”的过程。“发现”过程的核心环节或核心活动是“观察与比较（Observation and Comparing）”。观察之前需要有建立观察“对象与动机”的环节，也即“观察什么”和“为什么观察”的问题。观察到的结论可以叫作“猜想”，猜想往往是直观的、不严谨的，甚至是错误的。所以观察之后需要有对“猜想”进行“解释与验证”的环节，最后是对确信无疑的结论进行“拓展与应用”的环节。[3]

除此之外，还应当考虑到，学生的学习应当基于已有的知识和经验。在小学数学课程中与“三角形内角和”有关的知识主要包括：角的认识、锐角和钝角、平角与周角、角的度量。这些内容都与本课内容的学习密切相关，因此教学过程中还需要有“回忆与复习”的环节。依据以上分析，本节课关于学习目标、学习任务、学习方式和学习活动的设计可以用如下表格的形式呈现。

在建立“对象与动机”的环节中，教师给学生布置的学习任务是：“用直尺和铅笔画出一个三角形，让其中一个内角尽可能大。再画出一个三角形，让其中两个内角尽可能小。”学生在画的过程中会感受到两个三角形有一个共同特征，就是一个角如果非常大，另外两个角就会很小。另外一个可能感受到的结论是，任何一个角再大也不会大于180度的。平角。（见图5）

图5 三角形示意图

在这样的情况下，会让学生产生“奇怪”的感觉，这种奇怪的感觉往往会给人带来进一步探究的欲望。同时，当学生感受到“有大就有小，有小就有大”的现象时，或许就可以联想到加法运算“和不变”的规律。[4]同时，就可能猜想到三个内角之和是固定不变的，为进一步探究奠定了对象和动机的基础。

三、验证方法多样化

规律性知识的特点是结论具有确定性，但其发

现的途径和解释的方法往往具有多样性。对三角形

内角和结论的“解释与验证”，在小学阶段通常采用

测量、剪拼或者折叠的方法。这些方法具有直观并且可操作的特点，易于为小学生所接受（见图6）。

图6 剪拼示意图

初中阶段通常采用两种方法证明。第一种是利用类似于欧几里德《原本》中的方法，即应用有关平行线同位角和内错角相等的基本原理。将三个内角“搬”到同一个点上，通过平行线之间的关系可以发现三个内角共同构成了180度的平角（见图7）。

图7 证明示意图

第二种是利用“任意多边形外角和等于圆周角360度”的结论进行推理（见图8）。

图8 三角形外角和示意图

图8中三角形三个外角和等于360度，每个内角与相应外角构成平角180度，所以三角形三个内角之和等于：180×3-360=180（度）。

2011年4月，美国的一本名为《Math Horizons》的期刊，发表了一篇由James Tanton撰写的题为“A Dozen ‘Elementary’ Questions”的文章。其中给出了一种关于“三角形内角和等于180度”直观的解释方法（见图9）。

图9 三角形内角和命题直观证明

图9中一共有7个三角形，其顺序为从左上到右下。先在左上第一个三角形的左下顶点处放置一根火柴，而后逐步对这根火柴进行旋转和平移运动。

第一次：将火柴依照一个内角旋转到第二个图所示的位置。

第二次：将火柴沿着三角形一条边平移到第三个图的位置。

第三次：将火柴依照另外一个内角旋转至第四个图的位置。

第四次：将火柴沿着三角形另外一条边平移到第五个图的位置。

第五次：将火柴依照第三个内角旋转到第六个图的位置。

第六次：最后将火柴沿着第三条边平移到出发的起始位置。

此时的火柴与出发时的位置相同，但方向恰好相反。火柴整个运动过程包括三次平移和三次旋转。平移是保持原有方向的运动，因此导致火柴方向相反的原因就是旋转运动，三次旋转的角度之和恰好是三角形三个内角之和，方向相反说明这个角度之和应当是180度的平角，因此就说明了三角形三个内角之和是180度。这个方法实际上与半圆形量角器的原理是相同的（见图10）。

图10 半圆形量角器

设想一支铅笔水平放置在量角器底边，绕一端旋转180度后，其方向正好与旋转前相反。用这样的方法同样可以证明任意多边形的外角之和等于圆周角360度。运用这一方法的好处在于充分体现了“运动的眼光”在研究几何形体中的作用。同时，也体现出“角”这一概念在数学中表示方向改变的重要作用，还体现出平移与旋转的一个显著差异，即平移运动是保持原有方向不变的运动，而旋转运动是处处改变方向的运动。

“变教为学”倡导将以教师教的活动为主的课堂教学，转变为以学生的学习活动为主的课堂教学。实现这种转变的一个前提是能够设计出有效的学习任务和学习活动。“变教为学”期望数学学习的过程也是学生全面发展的过程。对于人一生特别重要的是学习的动机和学习的方法。因此，在学习任务的设计方面，应当特别关注学生的“感受”，让学生的学习成为“自愿”的活动。同时，对于诸如解释与验证的环节，应当充分尊重学生的“不同”方法，给学生阐述和解释的机会，让学生的学习成为“自主”的活动。

（首都师范大学初等教育学院 100048）

【参考文献】

[1] Isaac Barrow. Euclid’s Elements. London[M]： Printed and Sold by W. Redmayne. 1714：25.

[2] 郜舒竹. “变教为学”意在立德树人[J]. 教学月刊小学版（数学），2015（4）.

[3] 郜舒竹. “探索规律”释义[J]. 课程·教材·教法， 2015（1）.

[4] 郜舒竹. “商不变”为何重要（一）[J]. 教学月刊小学版（数学），2011（5）.