一类变种半群上的格林∗关系

秦美青

（菏泽学院数学系，山东菏泽274015）

一类变种半群上的格林∗关系

秦美青

（菏泽学院数学系，山东菏泽274015）

研究了一类变换半群POPE（X；θ）上的格林∗关系，利用格林∗关系的定义，得到了半群POPE（X；θ）上元素之间存在格林∗关系的条件，这些结果推广了这类变换半群上的格林关系.

部分变换；格林关系；格林∗关系

1　引言

设X是一个非空集合，PX是X上的部分变换半群，E是集合X上的一个等价关系，文献［1］考察了由等价关系E确定的保等价关系的部分变换半群

的任意元素间的格林关系.文献［2］是在X为全序集X=｛1，2，···，mn｝（m≥2，n≥2），E为凸等价关系E=（A1×A1）∪（A2×A2）∪···∪（Am×Am），其中

下面讨论半群PE（X）的子半群保序且保等价关系的部分变换半群

的任意元素间的格林关系.

取定θ∈POPE（X）且设dom θ=X.定义半群POPE（X）上的一个新的运算“◦”：f◦g=fθg，其中f，g∈POPE（X），乘积fθg为部分变换f，θ，g在一般意义下的合成运算.这样，在运算“◦”下，得到一个新的半群称为半群POPE（X）的变种半群，记为POPE（X；θ）.文献［3］讨论了半群POPE（X；θ）一般元素间的格林关系.本文主要考察当X是有限全序集时半群POPE（X；θ）上的格林∗关系.

2　预备知识

定义2.1［4］设E是X上的等价关系，Y，Z⊆X.设ϕ：Y→Z为映射，若（x，y）∈E蕴含（ϕ（x），ϕ（y））∈E，则称ϕ是E-保持的.若（x，y）∈E当且仅当（ϕ（x），ϕ（y））∈E，则称ϕ是E∗-保持的.

定义2.2［4］设ψ为映射.若对于任意的A∈X/E，存在B∈X/E，使对于任意P∈πA（f），有θ（B）∩ψ（P）≠∅，则称ψ是Eθ-容许的.若ψ：π（f）→π（g）是双射且ψ与ψ-1都是Eθ-容许的，则称ψ是容许的.

定义2.3［5］设X是全序集，Y是X的子集.若对任意x，y∈Y且x＜y时，有

则称Y是X的凸子集.若每个E-类都是X的凸子集，则称等价关系E为凸的.

定义2.4［6］设f∈PX.对任意A⊆X，集合｛y∈dom f：f（y）∈A｝，记为f-1（A）.集合｛P∈π（f）：P∩A≠∅｝，记为πA（f）.

定义2.5［6］集合｛f-1（A）：A∈X/E，A∩im f≠∅｝，记为E（f）.

引理2.1［6］对每个f∈PE（X；θ），θ|imf是单射当且仅当π（θf）=π（f）.

设S是一个半群，a，b∈S，称a，b是L∗相关的.如果它们在某个半群T（S≤T）中是L相关的［7］.对偶地给出两元素R∗相关的定义.称a，b是J∗相关的，如果它们在某个半群T（S≤T）中是J相关的.

引理2.2［7］设S是为任意半群，a，b∈S，则下面的说法等价：

（1）（a，b）∈L∗（R∗）；

（2）对任意x，y∈S1，ax=ay（xa=ya）当且仅当bx=by（xb=yb）.

从引理2.2不难看出：关系L∗和R∗都是半群S上的等价关系，并且L⊆L∗R⊆R∗.半群S上的等价关系D∗和H∗如下定义：H∗=L∗∩R∗D∗=L∗∨R∗.半群S上的关系L∗，R∗，D∗，H∗，J∗通称为格林∗关系.半群S上的格林∗关系是格林关系的推广.

引理2.3［8］设f，g∈PE（X；θ），则以下条件等价：

（1）（f，g）∈L；

（2）π（θf）=π（f）=π（g）=π（θg）和E（θf）=E（f）=E（g）=E（θg）；

（3）存在E∗-保持的双射ϕ：im f→im g，使得g=ϕf且θ|imf和θ|img是E∗-保持的单射.

引理2.4［8］设f，g∈PE（X；θ），则以下条件等价：

（1）（f，g）∈R；

（2）对每个A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得

（3）存在E∗θ-容许的双射ψ：π（f）→π（g），使得f∗=g∗ψ.

引理2.5［9］等价关系L和R是可交换的.

引理2.6［9］设ρ，σ是集合S上的等价关系且满足ρ◦σ=σ◦ρ则ρ∨σ=ρ◦σ.

引理2.7［9］若S是周期半群，则D=J.

文中未说明的概念与符号参看文献［9］.

3　主要结果

定理3.1设f，g∈POPE（X；θ）且f≠g则以下条件等价：

（1）（f，g）∈L∗；

（2）π（θf）=π（f）=π（g）=π（θg）和E（θf）=E（f）=E（g）=E（θg）；

（3）存在E∗-保持的双射ϕ：im f→im g，使得g=ϕf且θ|imf和θ|img是E∗-保持的单射.

定理3.2设f，g∈POPE（X；θ）且f≠g则以下条件等价：

（1）（f，g）∈R∗；

（2）对每个A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得

（3）存在E∗θ-容许的双射ψ：π（f）→π（g），使得f∗=g∗ψ.

定理3.3设f，g∈POPE（X；θ）且f≠g，则以下条件等价：

（1）（f，g）∈H∗；

（2）π（θf）=π（f）=π（g）=π（θg）和E（θf）=E（f）=E（g）=E（θg）且对任意A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得

证明由H∗的定义和定理3.1以及定理3.2即得.

根据引理2.5和引理2.6知半群上的格林关系D=L∨R=L◦R，易证半群上的等价关系L∗，R∗是可交换的，从而有D∗=L∗∨R∗=L∗◦R∗.

定理3.4设f，g∈POPE（X；θ）且f≠g，则以下条件等价：

（1）（f，g）∈D∗；

（2）存在E∗θ-容许的双射ψ：π（f）→π（g）和E∗-保持的双射ϕ：im f→im g，使得g∗ψ=ϕf∗且θ|imf和θ|img是E∗-保持的单射.

证明（1）⇒（2）假设（f，g）∈D∗，则存在k∈POPE（X；θ），使得（f，k）∈L∗，（k，g）∈R∗.因为（f，k）∈L∗，所以由定理3.1知π（f）=π（k）和存在E∗-保持的双射ϕ：im f→im k，使得k=ϕf且θ|imf和θ|imk是E∗-保持的单射.再因为（k，g）∈R∗，所以由定理3.2知im k=im g且存在E∗θ-容许的双射ψ：π（k）→π（g），使得k∗=g∗ψ.用π（f）代替π（k），im g代替im k，从而存在E∗θ-容许的双射ψ：π（f）→π（g），E∗-保持的双射ϕ：im f→im g，使得对任意P∈π（f），g∗ψ（P）=k∗（P）=ϕf∗（P）且θ|imf和θ|img是E∗-保持的单射.

（2）⇒（1）假设条件（2）成立，只须在半群POPE（X；θ）的某个扩半群中找到k，使得（f，k）∈L，（k，g）∈R.定义映射k：dom f→X，对任意x∈dom f，k（x）=ϕf（x），显然k是良定义的，且由f∈POPE（X；θ），ϕ|imf是E∗-保持的知k∈PE（X；θ）.任取z∈im f，设x1，x2∈f-1（z）∈π（f），即f（x1）=f（x2）.k（x1）=ϕf（x1）=ϕf（x2）=k（x2），从而存在y∈im k，使得x1，x2∈k-1（y）∈π（k），故π（f）是π（k）的细化.任取z′∈im k.设x′1，x′2∈k-1（z′）∈π（k）.这样ϕf（x′1）=k（x′1）=k（x′2）=ϕf（x′2）.因为ϕ|imf是双射，所以f（x′1）=f（x′2）.故存在y′∈im f，使得x′1，x′2∈f-1（y′）∈π（f），从而π（k）是π（f）的细化.综上知π（k）=π（f）.对任意的P∈π（k）=π（f），k∗（P）=ϕf∗（P）=g∗ψ（P），从而k∗=g∗ψ且im k=im g，这样存在E∗θ-容许的双射ψ：π（k）→π（g），使得k∗=g∗ψ，故根据引理2.4知（k，g）∈R.用im k代替im g，存在E∗-保持的双射ϕ：im f→im k，使得k=ϕf且θ|imf和θ|imk是E∗-保持的单射，故根据引理2.3知（f，k）∈L，综上知（f，g）∈D∗.

定理3.5半群POPE（X；θ）上有D∗=J∗.

证明假设f，g∈POPE（X；θ）且（f，g）∈D∗，则存在半群POPE（X；θ）的某个扩半群T，使得在半群T中，（f，g）∈D.因为X是有限集合，所以T是有限半群，从而是周期半群.根据引理2.7知，在半群T中（f，g）∈J，从而在半群POPE（X；θ）中（f，g）∈J∗，类似可知若在半群POPE（X；θ）中（f，g）∈J∗，可推出（f，g）∈D∗，故D∗=J∗.

［1］Pei Huisheng，Zhou Huijuan.Semigroups of partial transformatons preserving an equivalence relation［J］.数学进展，2009，38（1）：103-118.

［2］刘振玲.几类变换半群的正则性及格林关系［D］.山东：山东师范大学图书馆，2008.

［3］秦美青.一类变种半群的格林关系［J］.江南大学学报：自然科学版，2012，11（5）：614-617.

［4］孙垒，裴惠生.一类广义变换半群的格林关系［J］.纯粹数学与应用数学，2010，26（1）：73-78.

［5］裴惠生，邓伟娜.保持序和等价关系的自然偏序变换半群［J］.数学学报，2012，55（2）：235-250.

［6］秦美青，许新斋.保等价部分变换半群的变种半群上的正则元［J］.纯粹数学与应用数学，2010，26（5）：822-827.

［7］裴惠生，邓伟娜.保持双向等价关系的变换半群的若干结果［J］.西南大学学报：自然科学版，2012，34（8）：6-10.

［8］秦美青.一类部分变换半群的变种半群的格林关系［J］.海南大学学报：自然科学版，2011，29（4）：305-308.

［9］Howie J M.Fundamentals of Semigroup Theory［M］.New York：Oxford University Press，1995.

The Green′s∗-relations on a class of transformation semigroups

Qin Meiqing
（Department of Mathematics，Heze University，Heze274015，China）

In this paper，we study the Green′s∗-relations on a class of transformation semigroup POPE（X；θ）.Using the definition of Green′s∗-relations，we get the conditions of Green′s∗-relations between elements.These results generalize the Green′s relation on the semigroup POPE（X；θ）.

partial transformation，Green′s relation，Green′s∗-relations

O152.7

A

1008-5513（2015）05-0480-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.007

2015-02-03.

山东省自然科学基金（ZR2014AM032）.

秦美青（1982-），硕士，讲师，研究方向：半群的代数理论.

2010 MSC:20M20