M矩阵与非负矩阵Hadamard积最小特征值的界*

2015-11-02 00:33李艳艳蒋建新
关键词:文山算例特征向量

李艳艳,蒋建新

(文山学院 数学学院,云南文山663000)

1 预备知识

令 N={ 1 ,2,…,n }表示自然数集,Cn×n(Rn×n)表示 n×n 复 (实)矩阵集,

下面给出将要用到的一些基础知识.

设 A=(aij)∈Rn×n,若 aij≥0,则称 A 为非负矩阵(A≥0);若 aij≤0,i≠j,则称 A 为 Z 矩阵;进一步如果 A为Z矩阵,且A-1≥0,就称A为非奇异M矩阵,并用Mn表示非奇异M矩阵的集合;若A是不可约非负矩阵,则存在正向量u使A u=ρ(A)u,其中u称为A的右Perron特征向量;A是不可约非奇异M矩阵,则存在正向量v使A v=T(A)v,其中v称为A的右Perron特征向量.

矩阵 A=(aij),B=(bij)∈Rn×n的 Hadamard 积为 A·B=(aijbij)∈Rn×n.

令q(A)=min{Re(λ):λ∈σ(A)}表示矩阵A的最小特征值,ρ(A)表示矩阵A的谱半径,σ(A)是Z矩阵A的特征值的集合.

若 A,B∈Mn,Fiedler M[1]证明了 A·B-1∈Mn.

2 主要结果

引理 1[2]设 A,B,C,D∈Rn×n,其中 C,D 是对角矩阵,则

一方面设矩阵 B-1·A 不可约,那么 A,B-1也不可约,令 D=diag(d1,d2,…,dn),di>0,因为 D-1B-1D 为非负不可约矩阵,则存在正向量 u=(u1,u2,…,un),使得(D-1B-1D)u=ρ(D-1B-1D)u=ρ(B-1)u ,若写成分量形式,有

再设 U=diag(u1,u2,…,un),令 C=(DU)-1B-1(DU),则

G·B-1也为不可约非奇异 M 矩阵,又由引理 1 知,(FV)-1(A·B-1)(FV)=(FV)-1A(DU)·B-1=G·B-1,即q(A·B-1)=q(G·B-1)= λ,又由引理 2 知存在 i,使得

此处的估计式一定情况下提高了经典估计式q(A·B-1)≥q(A)miniβii.

3 数值算例

算例说明此处估计式提高了现有的结果.

[1]FIEDLER M,MARKHAM T.An Inequality for the Hadamard Product of an M-matrix and Inverse M-matrix[J].Linear Algebra Appl,1988(101):1-8

[2]陈景良,陈向晖.特殊矩阵[M].北京:清华大学出版社,2000

[3]黄荣.Some Inequalities for the Hadamard Product and the Fan Product of Matrices[J].Linear Algebra and Its Applications,2008(428):1551-1559

[4]HORN R A,JOHNSON C R.Topics in Matrix Analysis[M].New York:Cambridge University Press,1991

[5]CHEN SC.A Lower Bound for the Minimum Eigenvalue of the Hadamard Product of Matrix[J].Linear Algebra Appl,2004(378):159-166

猜你喜欢
文山算例特征向量
二年制职教本科线性代数课程的几何化教学设计——以特征值和特征向量为例
克罗内克积的特征向量
Modulational instability of the coupled waves between fast magnetosonic wave and slow Alfvén wave in the laser-plasma interaction
近场脉冲地震下自复位中心支撑钢框架结构抗震性能评估
一类三阶矩阵特征向量的特殊求法
文山肉丁
降压节能调节下的主动配电网运行优化策略
提高小学低年级数学计算能力的方法
文天祥与文山肉丁
EXCEL表格计算判断矩阵近似特征向量在AHP法检验上的应用