用逆矩阵求某些常系数非齐次线性微分方程的特解*

强成秀

(兰州商学院陇桥学院数学部，兰州730100)

常系数线性微分方程的理论研究已很完整，它在工程技术等实际领域也有着广泛的应用，可以用代数方法求它们的通解［1－3］.类似于线性方程组的解的结构，常系数非齐次线性微分方程的通解也等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和.在常微分方程理论中，可以用待定系数法来求其特解［4］.利用逆矩阵的方法求某些特殊函数的不定积分，并没有从理论上给出结论和证明［1］，从而使得该方法在应用时候缺乏理论依据.此处将利用矩阵工具，给出求某些常系数非齐次线性微分方程特解的一般理论和方法.

1 主要结论

定理1 设V是实数域R上全体可微函数所构成的线性空间，D是V上一个求导变换，如果常系数非齐次线性微分方程any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f(x)中已知函数 f(x)=f1(x)+f2(x)+…+fm(x)满足fi(x)∈Si且D(Si)=D2(Si)=…=Dn(Si)=Si，i=1，2，…，m.其中Si是V的一个有限维子空间，则该常系数非齐次线性微分方程可用于逆矩阵方法来求其特解.

证明 令 any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f1(x)，S1=L(f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)).

设求导变换 D|S1，D2|S1，…，Dn|S1在基 f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)下的矩阵为 A，A2，…，An，由定理 1 的条件知 S1在求导变换 D|S1，D2|S1，…，Dn|S1下是封闭的，设线性变换 φ(D)=anDn+an－1Dn－1+…+a1D+a0ε(ε 是恒等变换)，很容易知道 φ(D)|S1(f11(x)，f12(x)，…，f1n(x))=(f11(x)，f12(x)，…，f1n(x))φ(A)，则 φ(D)在该组基下的矩阵为 φ(A)，其中 φ(A)=anAn+an－1An－1+…+a1A+a0E(E 是单位矩阵)，由 dim φ(D)|S1(S1)=n和线性变换的维数 dim S1=dim φ(D)|S1(S1)+dim(φ(D)|S1)－1(0)知 dim(φ(D)|S1)－1(0)=0，从而φ(D)|S1是可逆的线性变换，故

说明 若方程any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f1(x)右边的函数换为 f2(x)，f3(x)，…，fm(x)，求解同上.若方程any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f1(x)右边的函数为某几个函数之和，则根据非齐次线性微分方程解的叠加原理可得该方程的一个特解.

用逆矩阵求常系数非齐次线性微分方程的特解的具体方法:

(1)当 any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f1(x)时，步骤为

① 根据 f1(x)构造一个由基 f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)生成的子空间 S1=L(f11(x)，f12(x)，…，f1n(x))，并且 S1在求导变换 D|S1，D2|S1，…，Dn|S1下是封闭的;

② 求 D|S1在基 f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)下的矩阵 A=(aij)n×n;

③ 求线性变换(D|S1)n在基f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)下的矩阵为An，相应地线性变换(D|S1)n－1在基f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)下的矩阵为 An－1，依次求出 An－2，An－3，…，A2;

④ 求 φ(A)=anAn+an－1An－1+…+a1A+a0E，其中 E 为单位矩阵.根据代数知识求逆矩阵(φ(A))－1=(bij)n×n，则(φ(A))－1就是逆变换(φ(D)|S1)－1在基 f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)下的矩阵;

⑤ 根据(φ(A))－1=(bij)n×n写出(φ(D)|S1)－1(f1(x))=b1if11(x)+b2if12(x)+…+bnif1n(x)i=1，2，…，n;

⑥ 于是 any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f1(x)的特解为

2 应用举例

例1 利用逆矩阵求方程y″+y'－y=eax，a∈R的一个特解.

解 首先寻找一个包含eax的V的子空间S，且S在求导运算的作用下不变.通过x eax的连续求导运算，得到 S的一个基为eax，x eax，且有 D(eax)=a eax，D(x eax)=eax+ax eax，从而线性变换 D|S和(D|S)2在基 eax，x eax下的矩阵分别为

由于不定积分是求导运算的逆运算，从而可以利用φ(D)=(D|S)2+(D|S)－ε(ε是恒等变换)的逆变换(φ(D))－1=((D|S)2+(D|S)－ε)－1在基 eax，x eax下的逆矩阵(φ(A))－1来求 y″+y'－y=eax的一个特解，即

例2 利用逆矩阵求方程y″+y=x cos 2x的一个特解.

解 首先寻找一个包含x cos 2x的V的子空间S，且S在求导运算的作用下不变.通过x cos 2x的连续求导运算，得到 S 的一个基为 sin 2x，cos 2x，x sin 2x，x cos 2x，且有 D(sin 2x)=2cos 2x，D(cos 2x)= －2sin 2x 以及 D(x sin 2x)=sin 2x+2x cos 2x，D(x cos 2x)=cos 2x－2x sin 2x，从而线性变换 D|S和(D|S)2在基 eax，x eax下的矩阵分别为

使用方法是有条件的，f(x)必须满足定理1的条件，如果取 f(x)分别为 ln x，tan x，cot x，sec x，csc x，arcsin x，arccos x 等一些基本初等函数时，不适用方法.f(x)为含有 xn，eax，sin ax，cos ax，x∈R 的初等函数时适用本方法.这进一步表明数学中逆过程的方法往往存在局限性.

［1］邱森，朱林生.高等代数探究性课题集［M］.武汉:武汉大学出版社，2008

［2］张守贵.一类二阶常系数微分方程特解的教学探讨［J］.重庆工商大学学报:自然科学版，2012，29(12):11-14

［3］方辉平，叶鸣.二阶变系数齐线性微分方程的求解［J］.重庆工商大学学报:自然科学版，2011，28(1):14-17

［4］同济大学数学教研室.高等数学［M］.5版.北京:高等教育出版社，2007

［5］北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数［M］.3版.北京:高等教育出版社，2003