必修5中的两个有趣的数列

连毅端��

在必修5的数列部分中，课后的“阅读与思考”涉及到两个数列：斐波那契数列与九连环数列，其中斐波那契数列的通项公式的求解没有给出，而有关九连环的数列的通项公式的求解过程很多学生反映不好理解，介于此，本文重点就如何求两个有趣数列的通项公式，以飨读者.

首先我们来看如何求斐波那契数列的通项公式an，这里介绍两个方法：待定系数法与特征方程法.

已知斐波那契数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an，求an.

解法一 待定系数法

解 由an+2-αan+1=β（an+1-αan），得an+2=（α+β）an+1-αβan，

令α+β=1

αβ=-1α=1-52

β=1+52

从而an+2-1-52an+1=1+52（an+1-1-52an），即an+2-1-52an+1an+1-1-52an=1+52.

所以an+1-1-52an为等比数列，公比是1+52，首项=a2-1-52a1=1+52

所以an+1-1-52an=1+52·1+52n-1，

an+1-1-52an=1+52n，

an+11+52n-1-52·an1+52n=1.

an+11+52n--3+52·an1+52n-1=1.

令

bn=an1+52n-1，bn+1=5-32bn+1.

利用待定系数法可知：bn=5-510（5-32）n-1+5+510，所以an1+52n-1=5-510·5-32n-1+5+510，经整理得：an=15（1+52）n-15（1-52）n.

解法2 特征方程法

解 特征方程：x2-x-1=0的特征根是x1，2=1±52.

设an=A1·（1+52）n-1+A2·（1-52）n-1，A1+A2=1，

A1·1+52+A2·1-52=1， 得

A1=15·1+52，

A2=-15·1-52.

an=15（1+52）n-15（1-52）n.

通过求出的通项公式，我们会发现一个有趣的现象：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的，这是用无理数表示有理数的一个范例，而与斐波那契数列相关的有趣内容读者可以网上查阅.

接下来再看如何求九连环数列的通项公式.

已知九连环数列{an}满足a1=1，a2=2，an=an-1+2an-2+1（n≥3），求an

解 an=an-1+2an-2+1（n≥3），

an+an-1+1=2（an-1+an-2+1），

an+an-1+1an-1+an-2+1=2，

所以数列{an+an-1+1}为等比数列，公比为2，首项是4.

an+an-1+1=4·2n-2=2n，

an+an-1=2n-1， ①

an+1+an=2n+1-1. ②

由②-①：an+1-an-1=2n，

当n=2k时，

a2k+1-a2k-1=22k，

a3-a1=22，

a5-a3=24，

a7-a5=26，

…

a2k+1-a2k-1=22k，

a2k+1-a1=22-22k·221-22，

a2k+1=22k+2-13，

所以an=2n+1-13（n为奇数）.

当n=2k+1时，a2k+2-a2k=22k+1，

a4-a2=23，

a6-a4=25，

…

a2k+2-a2k=22k+1，

所以a2k+2-2=23-22k+1·221-22，

a2k+2=22k+3-23，

所以an=2n+1-23（n为偶数），

所以an=2n+1-13，（n为奇数）

2n+1-23，（n为偶数）

从而a9=13（29+1-1）=341，即解九连环最少需要移动圆环341次.

通过课本的这两个例子，我们从中可以挖掘出很多有趣的内容，这些内容也是学生很感兴趣的，因此，课本的“阅读与思考”可以作为很好的课题让学生拓展知识面，值得每一个学生去探索.

作者简介 连毅端，男，福建泉州人，石狮市优秀教师.