薄壁圆柱壳构件受迫振动的响应特征研究

第一作者王宇男，博士生，1979年生

通信作者罗忠男，副教授，1978年生

薄壁圆柱壳构件受迫振动的响应特征研究

王宇1, 2， 罗忠1

(1.东北大学机械工程与自动化学院，沈阳110819； 2.辽宁科技大学机械工程学院，辽宁鞍山114051)

摘要：针对固支-自由约束条件下受径向谐波激励或径向冲击激励的薄壁圆柱壳构件，开展其受迫振动下的响应特征分析。首先基于Love壳体理论建立了薄壁圆柱壳构件的动力学模型，然后，根据固支-自由约束条件特点，采用轴向梁函数和周向三角函数组合的振型函数以及振型叠加法，获得了考虑粘性阻尼的薄壁圆柱壳模态坐标振动方程，进而求解受径向谐波激励或冲击激励的振动响应。通过一个具体算例，进行了不同位置上的响应幅度与相位的变化分析，并对比了模态阻尼比和激励力幅值对响应幅值的影响。

关键词：薄壁圆柱壳；响应特征；谐波激励；冲击激励

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51105064)；教育部基本科研业务费专项资金资助项目(N130503001)

收稿日期：2013-12-19修改稿收到日期：2014-05-20

中图分类号:O241.82；O327

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.017

Abstract:The forced vibration response characteristics of a clamp-free cylindrical shell under radial harmonic excitation force or radial impact excitation force were analysed. A dynamic model of thin cylindrical shell was constructed according to Love’s shell theory. Taking damping into account, the dynamic equations were solved based on the modal superposition method and the vibration equations in modal coordinates were acquired, so as to get the vibration response results when the cylindrical shell was subjected to radial harmonic excitation force or radial impact excitation force. Through a specific example, the variation of response amplitudes and phases at different locations of the cylindrical shell was analysed and the influences of different modal damping ratio and different excitation force on the responses were discussed.

Forced vibration response characteristics of thin cylindrical shell

WANGYu1, 2,LUOZhong1(1.School of Mechanical Engineering and Automation, Northeast University, Shenyang 110819, China;2.School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Liaoning, Anshan 114051, China)

Key words:thin cylindrical shell; response characteristics; harmonic excitation; impact excitation

薄壁短圆柱壳通常是指轴向半波数等于1，且壁厚与其他最小特征尺寸(直径、长度)之比在1/80和1/5之间的圆柱筒体[1]。该类结构广泛应用于航空、宇航、造船和化工机械等诸多领域，是旋转机械中起到连接轴段、传递扭矩的重要组件，常常由于处于复杂的工作环境中而容易产生共振和失稳等。对于固支-自由边界约束条件的薄壁圆柱壳构件，当受到单点径向谐波激励或冲击激励作用时，其受迫振动响应的振幅与激振力和结构阻尼等因素有关。

薄壁圆柱壳的固有特性研究已经非常充分，针对薄壁圆柱壳的振动响应特征，也已经做了大量的工作。如Huang等[2]研究了两端简支旋转有限长圆柱壳的自由振动和谐波激励响应。Christoforou等[3]利用解析法分析了两端简支圆柱壳在径向冲击载荷的振动响应问题。Li等[4]给出了基于Kirchhoff-Love假设的有限长两端简支圆柱壳体受横向冲击瞬态响应的一个封闭解析解。Lee等[5]利用振型叠加法分析了两端简支层合圆柱壳在脉冲激励下的动力学响应。黄承义等[6]分析了两端简支圆柱壳在径向脉冲激励下的动力学响应。李学斌等[7-8]使用Flügge壳体理论和振型叠加法，分析了两端简支圆柱壳在轴向压力下的稳定性和径向冲击载荷时的瞬态动力响应问题。姚熊亮等[9]以Donnell壳体理论为基础，利用微分求积单元法，研究了圆柱壳稳态谐响应问题。纪冲等[10]基于有限元法及随动塑性模型，对两端固支薄壁圆柱壳经受侧向冲击的动力响应问题进行数值模拟，获得了变形及破坏模态。现有的研究大部分是针对两端简支的圆柱壳的振动分析结果，对于固支-自由约束条件下的薄壁圆柱壳的振动响应规律认识不清楚。事实上，由于约束条件的不同，薄壁圆柱壳表现出的振动响应特征具有很大的差异。

本文针对固支-自由约束条件下的薄壁圆柱壳，基于Love壳体理论建立动力学方程，利用振型叠加法进行求解，分析受到径向谐波激励或冲击激励下薄壁圆柱壳在不同位置上的振动响应规律，对比分析模态阻尼比和激励幅值对振动响应幅值的影响。

1薄壁圆柱壳的振动响应求解方法

1.1力学模型

如图1所示的固支-自由约束条件下在Q(x*,θ*,z*)点受到径向激励作用的薄壁圆柱壳结构模型图，建立柱坐标系Oxθz，其中，坐标原点O为薄壁短圆柱壳固支端面上的圆心；x轴与圆柱壳轴线重合且正方向竖直向上；z轴在圆柱壳固支端面上，且正方向水平向右；θ为圆柱壳端面上偏离z轴初始位置的偏转角。u(x,θ,t)，v(x,θ,t)和w(x,θ,t)分别表示薄壁圆柱壳的中面上的任意一点在轴向x、切向θ和径向z三个方向上的位移。L，H和R分别为圆柱壳的长度、壁厚和中面半径。

图1　受径向激励的固支-自由 约束条件下的薄壁圆柱壳 Fig.1 A cylindrical shell under clamp-free boundary condition subjected to a radial excitation force

基于Love壳体理论，考虑结构阻尼的影响，薄壁圆柱壳的振动微分方程为[11]

(1)

式中，‘·’表示位移对时间的求导，c为等效粘性阻尼系数，ρ为材料密度，P为外部激振力。L算子的表达式为

(2)

式中，激励力项P的元素为px,pθ,pz,Lij微分算子的表达式见附录Ⅰ。

1.2固有特性

对固支-自由约束条件下的薄壁圆柱壳，为求解无阻尼固有频率，不考虑结构阻尼的影响，采用轴向梁函数和周向三角函数组合的振型函数。对于式(1)所表示的薄壁圆柱壳动力学方程，其位移解为[12]

(3a)

(3b)

(3c)

(4)

式中，ωmn为固有频率。

(5)

式中，λ1、σ1和ai(i=1,2,3,4)的值由边界条件确定，对于固支-自由边界条件，λ1=3.926 6，σ1=0.734 1，a1=a3=1，a2=a4=-1。

求解固有频率时，把式(3)代入式(1)，进行Galerkin离散，得

(6a)

(6b)

(6c)

对式(6)进行积分运算，得到薄壁圆柱壳的固有频率特征方程为

(7)

式中，cij(i,j=1,2,3)的具体表达式见附录Ⅱ。

由式(7)的非平凡解条件可以得到固有频率的求解公式为

(8)

式中，

β0=c11c23c32+c12c21c33+c13c22c31-

c12c23c31-c13c21c31-c11c22c33

β1=c11c22+c11c33+c22c33-c12c21-c13c31-c23c32

β2=-c11+c22+c33

(9a)

(9b)

1.3径向谐波激励时的振动响应分析方法

当薄壁圆柱壳在Q点受径向谐波激励时，激励力的表达式为

px(x,θ,t)=0

(10a)

pθ(x,θ,t)=0

(10b)

pz(x,θ,t)=f0sin(ωt)δ(θ-θ*)δ(x-x*)

(10c)

将式(3)代入式(1)可得

根据空间与时间变量分离法，并且振型Umn，Vmn，Wmn满足振型方程组，可得关于某一主共振模态下的模态坐标Tmn(t)的二阶常微分方程为

(12)

Fmnsin(ωt)

(13)

根据式(12)和式(13)，对于零初始条件，可得在径向谐波激励作用下薄壁圆柱壳的稳态振动响应解为

Tmn(t)=Acos(ωt-α)

(14)

将式(14)代入式(3)中，再根据式(8)和式(9)求得的固有频率和振型比，可得到径向位移。

1.4径向冲击激励时的振动响应分析方法

对于受径向冲击激励作用时的薄壁圆柱壳，设其冲击激励函数为

pz(x,θ,t)=-f(t)δ(θ-θ*)δ(x-x*)

(15)

此时，模态坐标下的外激励力Gmn(t)为

Gmn(t)=

(16)

在零初始条件下，根据Duhamel积分，由式(12)可以求得径向冲击激励作用下薄壁圆柱壳的振动响应为

(17)

式(17)的计算可以采用Simpson数值积分法。再将式(17)代入式(3)中，可求得径向位移。

2径向谐波激励的振动响应

如图1所示的薄壁圆柱壳构件，设其材料参数和尺寸参数如表1所示。

表1　薄壁圆柱壳的材料参数和尺寸参数

先进行薄壁圆柱壳的模态分析，得到了轴向半波数等于1和周向波数小于10的八阶固有频率，从小到大排列依次为(1,6)、(1,7)、(1,5)、(1,8)、(1,4)、(1,9)、(1,10)和(1,3)对应的模态。

取前八阶模态进行构造振型函数求解薄壁圆柱壳的振动响应，激励频率取(1,6)阶固有频率1 668 Hz，模态阻尼比取为0.3%[12]。

2.1不同点的共振响应

设径向谐波激励作用在薄壁圆柱壳的自由端相位为θ=0°的点(L,0°,R)处，激励幅值为2N，以激励点所处相位为基准，取不同相位差分别为θ=0°、15°、30°、45°、60°、90°、120°的拾振位置，稳态时域响应曲线如图2所示，相位为θ=0°时，稳态响应是一条正弦曲线，在非激励点处响应曲线均呈现稳态正弦变化。当θ=0°、60°和120°时，响应曲线接近重叠，相位基本一致；当θ=0°、30°和90°时，响应曲线正好和激励点的相反，相位差为90°；当θ=0°、15°和45°时，响应曲线的相位及位移幅值和激励点的相位及位移幅值不同，相位差为90°。

图2　不同位置的稳态时域响应 Fig.2 Steady time response in different positions

2.2不同激励位置相同拾振点的响应对比

当薄壁圆柱壳的激励力在不同位置时，在同一个拾振点进行拾振，激励幅值为2 N，计算得到薄壁圆柱壳自由端的36个点的共振响应，响应幅值分布如图3所示，可以看出为周向波数为6的共振情况，激励点在θ=0°、15°、30°和45°时，都为激起共振点位置，各点的相位和幅值呈周期性变化。例如当激励位置在0°时，最大幅值和相位相同的位置共有6个，相邻两点沿圆周方向分布的角度相差60°。

2.3模态阻尼比的影响

当薄壁圆柱壳的模态阻尼比ξ分别为0.003、0.006和0.009时，激励点相位为θ=0°，拾振点相位分别选择在θ=0°、30°、60°和90°时，第(1,6)阶的稳态共振响应曲线如图4所示，可看出，不同模态阻尼比引起的振动响应值变化不同，阻尼值越小时响应振幅越大，反之亦然，但响应幅值和模态阻尼比的变化比例并不相同。

图3　不同激励点的共振响应幅值分布图 Fig.3 Resonance response amplitude in different excitation positions

2.4激励幅值的影响

在激励幅值分别为1 N、2 N和3 N，激励点相位为θ=0°，拾振点相位分别为θ=0°、30°、60°和90°时，第(1,6)阶的稳态共振响应曲线如图4所示，薄壁圆柱壳的稳态响应如图5所示，由图4和图5可看出，随着激励幅值的变大，其对应响应峰值也变大，且响应幅值和激励幅值的变化的比例基本相同。

图5　激振幅值对振动响应的影响 Fig.5 The influences of excitation amplitudes on vibration response

3径向冲击载荷的振动响应

薄壁圆柱壳构件的性能参数如表1所示，采用式(15)形式的径向冲击载荷，激励幅值为2 N，模态阻尼比为0.3%，激励频率为(1,6)阶固有频率1 668 Hz，取前八阶模态振型进行叠加，激励和拾振位置选在自由端(L,0°,R)，当载荷持续时间t≤0.05 s时，分析其受迫响应。

薄壁圆柱壳的瞬态时域响应曲线如图6所示，在起始阶段的振动响应值变化很小，由于结构阻尼的作用，径向振动响应值随着阻尼逐渐衰减。不同拾振点的响应曲线如图7所示为θ=0°、30°、60°处的时域响应曲线，由图可知，在非激励位置θ=30°和60°处响应的相位与激励位置θ=0°处响应的相位不同，激励位置θ=0°时的位移响应峰值最大，在离激励点远处的响应出现延迟现象，振动能量也会减小。

当不同模态阻尼比时，瞬态振动响应曲线如图8所示，模态阻尼比分别为0.003、0.006和0.009，可以看出，振动响应幅值变化很小，曲线基本重合。当激励幅值分别为1 N、2 N和3 N时，薄壁圆柱壳的瞬态响应曲线如图9所示，随着激励幅值的增加，响应峰值增大比较明显。

图6 径向冲击激励下的瞬态响应Fig.6Transientresponseunderradicalimpactexcitation图7 不同拾振点的瞬态响应Fig.7Transientresponseindifferentpositions图8 模态阻尼比对瞬态响应的影响Fig.8Transientresponsewithdifferentdampingratios图9 激振幅值对振动响应的影响Fig.9Transientresponsewithdifferentexcitationamplitudes

4结论

针对固支-自由约束条件的薄壁圆柱壳，基于Love壳体理论，利用振型叠加法，讨论了受径向谐波激励和冲击载荷激励时的振动响应特性，得到如下结论：

(1)当圆柱壳受谐波激励时，在激励点和非激励点处稳态响应曲线均呈现正弦变化。当相位θ为0°、60°和120°时，响应曲线接近重叠，相位基本一致；当相位θ为0°、30°和90°时，响应曲线正好和激励点的相反，相位差为90°；当相位θ为0°、15°和45°时，响应曲线的相位及位移幅值和激励点的相位及位移幅值不同，相位差为90°。

(2)当圆柱壳受到谐波激励时，激励位置在相位θ为0°、15°、30°和45°时，都为激起共振点位置，各点的相位和幅值呈周期性变化；当激励位置相同时，最大正向(或负向)幅值和相位相同的位置共有6个，其中相邻两点沿圆周方向分布的角度相差60°。当模态阻尼比越小时响应振幅越大，激励幅值增加时响应峰值变大，但阻尼和激励幅值对响应幅值的影响程度不同。

(3)当圆柱壳受到径向冲击载荷时，时域响应曲线在起始阶段的振动响应值变化很小，由于阻尼的作用，响应幅值逐渐衰减。在非激励位置处响应相位与激励位置处响应相位不同，在激励位置处的响应幅值峰值最大，随着离激励点越远处，其响应幅值的峰值就越来越小。当模态阻尼比不同时，振动响应幅值变化很小，但响应幅值峰值随着激励幅值的增加而增大比较明显。

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附录

附录Ⅰ：

附录Ⅱ：

T1=21.053,T2=95.096,T3=1.5e5