索杆梁耦合结构分析模型及其应用研究

第一作者刘云男，博士，讲师，1981年生

邮箱:hhu_liuyun@126.com

索杆梁耦合结构分析模型及其应用研究

刘云1,2，钱振东2，夏开全3，杨超舟1

(1.河海大学土木与交通学院，南京210098； 2.东南大学智能运输系统研究中心，南京210096；3.中国力学科学研究院，北京100192)

摘要：为了研究索杆滑动连接特性对索杆梁耦合结构受力的影响，定义了由一个通过滑动节点连接的三节点活动滑移索单元和多个两节点非活动滑移索单元组成的单元组，基于更新拉格朗日法推导了三节点直线型滑索单元几何非线性刚度矩阵，并建立了输电线路索杆梁耦合结构有限元模型。通过高压架空输电线路耐张段的非线性静力调索分析验证了耦合结构模型的可行性，探讨了耦合结构在导线发生断裂失效后的动响应变化规律及其传播特性。计算结果表明，导线静态张力与规范设计参数相差较小，可用于后续分析。考虑滑移的导线张力在导线断裂初期有短暂增加的趋势。导线断裂对邻近绝缘子和铁塔横担杆件的受力有明显的影响，且动响应的传播会导致邻近塔的导线张力增加。

关键词：架空输电线路；索杆梁耦合结构；滑移索；几何非线性；动响应

基金项目：国家自然科学基金项目(51308193);国家电网科技项目(SGKJ2007116)

收稿日期：2013-10-09修改稿收到日期：2013-12-04

中图分类号:TM753

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.034

Abstract:In order to study the influences of gliding characteristics of transmission lines on the tension forces of structural members in cable-rod-beam coupling structure, a model of string of sliding cable elements (SCEs) consisting of one active three-node SCE passing through the “slider point” and multiple inactive two-node SCEs was put forward. Based on updated Lagrangian (U.L.) formulation, the geometrically nonlinear stiffness matrix of 3-node straight sliding cable element was deduced. The finite element model of transmission line structure was established. Taking a high voltage overhead transmission line as an example, the initial equilibrium state of the coupling system was determined by carrying out nonlinear static analysis, and the dynamic tension forces under cable rupture were calculated. The results show that the static tension force of lines can be used in the succeeded dynamic analysis due to that there is only small difference between the static tension force obtained and the noramal design parameter. The tension force of lines considering gliding characteristics will increase just after cable rupture. The cable rupture has significant effect on the forces on insulators and towers, and the shock wave due to cable rupture could raise the forces of the adjacent conductors.

Analysis model of cable-rod-beam coupling structure and its application

LIUYun1, 2,QIANZhen-dong2,XIAKai-quan3,YANGChao-zhou1(1. College of Civil and Transportation Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China;2. Intelligent Transportation System Institute, Southeast University, Nanjing 210096, China;3. China Electric Power Research Institute, Beijing 100192, China)

Key words:overhead transmission line; cable-rod-beam coupling structure; gliding cable; geometric nonlinearity; dynamic response

实际工程中有很多结构可根据其受力及连接特性简化为索杆梁耦合结构，例如斜拉桥、高压架空输电线路等。在索杆梁耦合结构中，索与其他杆件连接时，连接处可能存在滑移。为研究索杆梁耦合结构的非线性动响应变化规律，首先需要建立一个能够反映实际受力状态的耦合结构分析模型。

有学者研究了索梁结构的耦合动力学方程，以及在不同简化边界条件下的振动特性。陈水生等[1]由牛顿定律建立索的振动微分方程，使用Galerkin法将索的振动偏微分方程转化为对时间的常微分方程，然后与桥面质量的振动方程建立耦合的非线性振动方程组。Gattulli等[2]通过哈密顿原理(Hamilton principle)得到非线性运动方程，建立了几何非线性索和轴向刚性的Eular-Bernouli梁的耦合模型。赵跃宇等[3]将索梁连接处假设为铰接，建立了可用于索-梁组合结构动力学性质数值分析或简单定性分析的数学模型。其后，赵跃宇等[4]又考虑了索与曲梁的面内振动问题。也有部分学者采用有限元方法研究了实际工程杆系结构的动力特性和动响应[5-9]，考虑了不同单元节点之间的耦合方式，常见的包括刚接、铰接及弹性连接(即半刚接半铰接)。

McDonald[9]采用有限元软件ADINA建立了输电线路结构的仿真模型，计算了在断线工况下的输电线路动响应。Rao[10]建立了输电塔的足尺试验模型及非线性有限元模型，分析了不同塔构件破坏条件下的结构力学响应，并与规范做了对比。Hamada[11]建立了包括导线、地线及输电塔的三维有限元模型，基于流体动力分析方法计算了输电线路结构在龙卷风荷载作用下的力学响应。Lin[12]建立了一个单跨输电线路塔线结构的气动弹性模型，探讨了输电线路破坏为什么常发生在下吸式风作用的情况下。

本文以高压架空输电线路结构为工程背景，在索杆梁耦合结构中考虑索杆单元之间的滑动连接，建立了考虑滑移的索单元分析模型，并联立索、杆、梁单元建立了输电线路耦合结构有限元模型，分析了导线单元破坏失效后的输电线路结构动响应变化规律及传播特性。

1直线型滑索单元切线刚度矩阵

1.1滑索结构原型

图1　滑索结构原型 Fig.1 Prototype of sliding cables

输电线路是常见的大跨度柔性悬索结构。在多跨输电线路施工阶段，导线通过滑轮结构暂时与绝缘子串连接，线夹并没有将导线夹紧，属于滑动连接。然后通过改变索长调整垂度，使用线夹夹紧导线，将索固定在绝缘子末端，滑轮被卸除，此时属于非滑动连接。图1分别表示了导线在架设阶段的示意图。

1.2单元定义

如图2所示定义一组滑移索单元，由一个通过滑动节点连接的三节点活动滑移索单元和多个两节点非活动滑移索单元组成。建立一个几何非线性三点索单元用来模拟活动滑移索，如图3所示。一般几何非线性两节点索单元被用来模拟非活动滑移索。单元定义采用如下假定：①滑移索单元的应变沿单元长度方向保持一致，遵守胡克定律；②索的面积不随外荷载作用变化；③索单元只有轴向应变不承受弯矩。

图2　滑索单元组 Fig.2 A group of sliding cables

图3　滑索单元的计算构形 Fig.3 An active sliding cable element

1.3切线刚度矩阵

图3所示为滑动索单元的初始构形、已知构形和待求构形。节点3是滑动点，它把单元划分成两个直线部分。采用更新式拉格朗日方程(U.L.)[13]，增量虚功方程如下：

(1)

式中：ε11是格林—拉格朗日应变，S11是第二Piola-Kirchhoff应力，A0是单元初始截面积，并且假设其在整个单位尺寸中是个恒量。在更新式拉格朗日方程中，积分是基于已知构形的。在某一时刻及某一构形条件下，因为应变和应力被认为沿着单元长度方向保持不变，所以式(1)中的积分如下：

(2)

并且

(3)

(4)

对于三节点滑移索单元，参考于初始构形和已知构形的格林—拉格朗日应变可通过以下公式给出

(5)

(6)

考虑平衡方程的线性化，对于U.L.格式，存在

tS11=D1111t·ε11

(7)

式(7)中的D1111为刚度张量。第二Piola-Kirchhoff应力可由以下公式给出

(8)

考虑

(9)

式(8)和(9)中的E是杨氏模量，C1111为柔度张量。式(6)的变分如下

δtε11=(l1+l2)(δl1+δl2)

(10)

初始单位尺寸、已知当前单位尺寸及待求构形单元的尺寸分别由各自的坐标决定(xi，yi，zi)，如

(t+Δtz3-t+Δtzi)2，i=1,2

(11)

(tz3-tzi)2，i=1,2

(12)

(0z3-0zi)2，i=1,2

(13)

已知构形的节点坐标(txi,tyi,tzi)与初始坐标(0xi,0yi,0zi)和已知构形节点位移(tu,tv,tw)，以及待求构形的节点坐标(t+Δtxi,t+Δtyi,t+Δtzi)与已知构形坐标(txi,tyi,tzi)和待求构形节点位移(t+Δtu,t+Δtv,t+Δtw)关系如下

txi=0xi+tui,tyi=0yi+tvi,tzi=0zi+twi，

i=1,2,3

(14)

t+Δtxi=txi+t+Δtui,t+Δtyi=tyi+t+Δtvi,t+Δtzi=tzi+t+Δtwi，

i=1,2,3

(15)

将式(15)代入式(11)，并求变分，得到

δli=

i=1,2

(16)

其中，

Δxi=t+Δtx3-t+Δtxi,Δyi=t+Δty3-t+Δtyi,

Δzi=t+Δtz3-t+Δtzi,i=1,2

(17)

将式(16)代入式(10)，得出虚应变项

δtε11=-(l1+l2)ΔTδd

(18)

其中

δd={δt+Δtu1δt+Δtv1δt+Δtw1δt+Δtu2δt+Δtv2

δt+Δtw2δt+Δtu3δt+Δtv3δt+Δtw3}T

由式(2)给出的增量虚功方程可以写为

(19)

并且内力向量为

FI=-(β1+β0)ΦΔ

(20)

其中

注意β0项是常量。求与节点位移相对应的内力偏导数，得出以下的单元切线刚度矩阵

(21)

其中

(22)

(23)

式(22)、(23)中

(24)

(25)

(26)

式(25)中

(27)

式中应注意，当滑移节点与任何末端节点(li=0)耦合时它是奇异的。

2输电线路索杆梁耦合结构

2.1导线(或地线)

输电导线由于其具有较强的几何非线性特点，因此通常都采用轴向受力的索单元进行模拟，在离散导线和地线结构时，分为两个阶段：①在耐张段耦合结构非线性静力调索分析时，采用滑移索单元来模拟与绝缘子相连接的导线部分，中间节点与绝缘子单元一端连接；②在耐张段出现杆件破坏失效后，采用两节点非线性直线索来离散导线，并通过改变耦合节点两端的导线刚度和质量矩阵来实现大型柔性索杆梁耦合结构的动响应分析。

2.2铁塔构件

采用薄壁梁杆单元模拟铁塔主要受力构件，主弦杆因其刚度明显大于腹杆，而且在节点处保持连续，所以宜按梁单元考虑。腹杆则宜分为主腹杆和次腹杆分别考虑。主腹杆两端均直接与弦杆相连，往往具有再分节点，自身的刚度和端部连接约束刚度都比较大，所以也按梁单元考虑。次腹杆一般无再分节点，一端甚至两端都与主腹杆相连，在塔架结构的简化计算中只考虑用其减小弦杆或主腹杆计算长度，而不计其受力，通常每端只用一个螺栓连接，端部约束和自身刚度比较小，内力和二阶应力都不大，可以按简单二力杆单元考虑。

2.3绝缘子

与悬浮导线相比较，假定绝缘端子是由轴向刚度很大的线弹性材料制成的，其质量集中在节点的端部，没有阻尼。悬挂式绝缘端子用一个没有初应变的两节点等参杆单元来模拟。

2.4杆件耦合方式及动力计算参数

绝缘子与铁塔构件的耦合连接处理较为简单，由于绝缘子采用两节点等参杆单元模拟，因此，只要将绝缘子单元与铁塔横担连接杆件单元连接部分的相应自由度全部耦合即可。

导线与绝缘子的连接采用分阶段的耦合连接处理方法。首先，在耦合结构正常运营之前，导线是通过滑轮来调整索力和线形，而不是直接固接于绝缘子，在动力分析之前的非线性静力分析中，将导线与绝缘子的连接节点看作是调索的滑轮，通过滑移索的静力分析确定初始平衡状态。其次，在正常运营阶段，假设塔线体系受到较大的瞬态冲击荷载作用，导致导线与绝缘子的连接部分突然断裂失效(活动滑移索单元不失效)，导线与绝缘子的连接节点同时产生短暂的滑移后再次固接。

采用Rayleigh阻尼模型来确定模态阻尼比，并进而确定阻尼矩阵。Roshan Fekr在分析冰雪脱落影响时描述过为每个单元确定适当的阻尼常数的具体过程，用来表现等效粘性阻尼的阻尼常数在裸线情况下为2%，冰冻情况下为10%，这里取导线阻尼比为0.02[15]。为了能表现在塔的连接处由于摩擦力造成的能量耗散，对于输电线路系统结构，可以采用输电塔振动特性计算结果的前两阶振动频率，通过构造瑞利阻尼模拟铁塔结构中的能量耗散，铁塔结构阻尼比一般取为0.01[16]。

2.5对比模型

为了与建立的耦合结构分析模型进行对比分析，借助于有限元软件ADINA采用传统索杆单元建立对比分析有限元模型，不考虑索的滑移。导线采用两节点的直线索单元进行离散，导线的弹性模量考虑了导线索股位移的全兼容性与分层影响，不考虑应变速率的效应，采用Ernst公式[17]来修正索单元的弹性模量来模拟非线性特点。模拟导线的索单元设置成只能受拉的受力状态，每个单元都指定初始拉伸应变以防刚度矩阵奇异。由于主要的支柱通常是用螺栓联系在一起的，可以传递次弯矩，因此，以往较多研究都采用空间刚架结构模拟铁塔，在建模过程中，塔的细部模型均使用线弹性材料，忽略应变速率效应。

3分析算例

3.1工程概况

选取国内某一平地500 kV交流输电线路，塔型为六角形(或称鼓型)的自立式双回路铁塔。最上面一层为两根地线，通过长度为1 m的绝缘子连接于地线支架上。上、中、下三层横担分别挂有两组四分裂导线，所有导线都分别通过长度为4 m的绝缘子连接于横担上。

为了便于分析，耐张段模型中的输电塔均采用同一型号，塔高54.3 m，呼高30 m，档距为400 m。塔构件均采用Q345和Q235角钢组成，因此取塔身杆件的弹性模量均为2.06×105N /mm2，质量密度为7.8×103kg/m3。塔柱大多为组合角钢的格构柱，计算模型做了适当简化，将每个塔柱构件简化为单根杆件，并对杆件的截面做了适当归并。导、地线的计算和设计参数分别如表1和表2所示。

表1　导、地线计算参数

表2　导、地线设计参数 [18]

3.2非线性静力分析

建立五跨四基的耐张段耦合体系模型，如图4所示。输电塔塔底固结，由于耐张塔的刚度相对非常大，导地线两端近似认为是固结。本文经过8次非线性静力分析后其位移矢量图方向一致此时体系的最大位移接近为零，且第7次和第8次最大位移比较接近，可近似为收敛的非线性静力最终状态。通过初始平衡状态分析，得到导线跨中弧垂最低点的张力为24 360 N，地线跨中弧垂最低点的张力为12 862 N，与表2中的平均运行张力相差很小，验证了本文推导的耦合结构的有效性。而对比模型初始平衡状态分析结果为导线跨中弧垂最低点的张力为23 260 N，地线跨中弧垂最低点的张力为11 786 N，与本文耦合结构模型计算结果相比有误差，但是与表2中的平均运行张力相差不大，可用于后续分析。

3.3动响应分析

在静力分析的基础上，分析导线失效破坏后的耐张段结构动响应。将与活动滑移索单元连接的一段非活动滑移索单元确定为导线失效单元。导线断裂失效后，假设导线与线夹连接得较好，与调索时的滑移量相比较小，并且滑移时间较短。破坏档剩余部分导线必然会在重力作用下自由跌落，结构的非线性动响应会通过其他杆件等连续介质传播，假设导线跌落至地面后停止运动，因为导线与地面的相互作用是复杂的动接触问题，这里暂不做分析。

在耦合结构中模拟2#塔上横担处一组导线突然断裂失效，选取3#塔关键受力部位作为研究对象(如图4和图5所示)，主要计算导线跌落过程中的导线、绝缘子和塔杆件的张力，以及导线破坏处的竖向位移。

图4 导线及绝缘子计算点Fig.4Calculationpointsoftransmissionlineandinsulator图5 塔上横担计算点Fig.5Calculationpointofuppercrossarm

在动响应分析时引入动力影响系数η。

(28)

式(28)中，峰值张力表示导线跌落过程中计算点的张力最大值，静态张力表示耦合体系在静力作用下计算点的张力。

图6　破坏点竖向位移(A点) Fig.6 Vertical displacement of rupture point (Point A)

图7　邻近破坏档导线轴向拉力(B点) Fig.7 Axial force of the conductor adjacent to failure span (Point B)

图8　邻近破坏档的绝缘子轴向拉力(C点) Fig.8 Axial force of the insulator adjacent to failure span (Point C)

图9　塔构件动响应变化规律 Fig.9 Axial force of upper crossarm

图10　4#塔B’点的轴向拉力 Fig.10 Axial force of the conductor at 4# (Point B’)

从图6可知，上横担导线从开始断裂到落地之前经历了约15 s，然后与地面碰撞。导线在下降过程中由于相邻段之间的相互制约作用并没有使导线产生明显的回弹现象。由于假设滑移索滑动时间较短，滑移量很小，导线跌落过程中，破坏处位移与对比模型计算结果比较差别很小，因此没有列出对比模型的计算结果。

从图7(b)可以看出，对比模型在导线开始跌落到落地之前的最初一段时间内，未破坏端导线的拉力都是下降的，并出现峰值逐步减小的数个张力波峰。但是导线张力的动力影响系数η变化不大，最大值为1。从图7(a)可以看出，本文模型在导线开始跌落到落地之前的最初一段时间内，由于破坏档未破坏端导线的滑移作用，导线的张力有一个短暂上升的变化趋势，然后滑移停止，连接位置恢复固接，拉力又继续下降的，并出现峰值逐步减小的数个张力波峰，导线张力的动力影响系数η最大值为1.02。

从图8(a)和图8(b)可以看出，两种模型的总体变化趋势相差不大，只是在导线开始跌落到落地之前的最初一段时间内，由于破坏档未破坏端导线的滑移作用，本文模型中绝缘子张力有短暂的增加，但是增加的值较小，而对比模型却有减小的趋势。断线档与导线相连接的绝缘子拉力呈非线性上升的趋势，并出现数个张力波峰，在静力状态下，绝缘子的运行张力计算值为13 kN，而在导线与地面碰撞之前，绝缘子的张力值已经增加到19 kN，动力影响系数为1.46。可见导线断裂对邻近的绝缘子产生较大的动力影响。

在导线断裂失效后的初始时间段内，由于本文模型和对比模型的横担杆件张力计算结果变化趋势没有明显的区别，所以只列出本文模型的张力结果。由图9可见，导线断裂后，上横担杆件动力效应呈非线性上升的变化趋势，动力影响系数η峰值为1.4。因此上横担一组导线断裂跌落到落地之前的非线性动响应对塔的横担杆件有较大的影响。

4结论

(1)根据架空输电线路结构中导线的大柔度特点，以及导线在实际施工及运营过程中与滑轮或线夹的相互作用，从U.L.列式出发，推导了直线型滑索单元的切线刚度矩阵。

(2)输电线路结构在发生导线断裂失效破坏后，上横担导线从开始断裂到落地之前经历了约15 s，然后与地面碰撞。导线在下降过程中由于相邻段之间的相互制约作用并没有使导线产生明显的回弹现象。

(3)在导线开始跌落到落地之前的最初一段时间内，由于破坏档未破坏端导线的滑移作用，导线和绝缘子的张力有一个短暂上升的变化趋势，然后滑移停止，连接位置恢复固接，张力又继续下降的，而不考虑索滑移的对比模型却有减小的趋势。

(4)导线断裂失效对邻近的绝缘子和铁塔横担杆件产生较大的动力影响。通过张力冲击波在导线中的传播特性分析可见，破坏段的导线张力冲击波反射到邻近塔相应导线位置时会增加其张力峰值，冲击波传播时间等于绝缘子摆动的时间与波传播时间之和。

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