F-可补子群对有限群的FΦ-超中心的影响

高百俊,汤菊萍

(1.伊犁师范学院 数学与统计学院,新疆 伊宁　835000;

2.扬州大学 数学科学学院, 江苏 扬州 225002)



F-可补子群对有限群的FΦ-超中心的影响

高百俊1,汤菊萍2

(1.伊犁师范学院 数学与统计学院,新疆 伊宁835000;

2.扬州大学 数学科学学院, 江苏 扬州 225002)

摘要:子群H称为在群G中F-可补,若存在G的子群T,满足G=HT,并且(H∩T)HG/HG包含于G/HG的F-超中心ZF∞(G/HG)里.作者主要利用子群的F-可补性质,研究了有限群的FΦ-超中心的结构,并推广了一些已知结论.

关键词:F-可补子群;FΦ-超中心;有限群

文中所有的群都是有限群,术语和符号是标准的,参照文[1-3]. 在下文中,U表示超可解群系,N表示幂零群系.

设F是一个群类,若F中任意一个群的子群仍在F中,则称F为S-闭的.H/K是群G的一个主因子,若H/K≤Φ(G/K),则称H/K为G的Frattini主因子. 此外,如果半直积[H/K](G/CG(H/K))∈F,那么称H/K为F-中心的,否则,称H/K为F-离中心的.G中所有G-主因子是F-中心的正规子群的乘积称为G的F-超中心,记为ZF∞(G). 特别地,群G的U-超中心记为ZU(G),群G的N-超中心记为Z∞(G). 群G的子群H称为在G中F-超中心的,如果H≤ZF∞(G). 众所周知,子群的F-超中心对于有限群的结构有着重要的影响,例如,对任一具体的群类F,如果G有一个正规子群E,使得G/E∈F且E≤ZF∞(G),那么G∈F.

近年来,结合有限群的F-超中心,郭文彬[4]教授定义了F-可补子群,这一概念推广了子群的c-正规性、c-可补性等. 作为这项工作的继续,朱路进和缪龙[5]提出了Fs-可补准素子群的概念,利用这一概念对幂零群和超可解群进行了进一步的研究. 通过对有限群G的非Frattini主因子的F-超中心性的研究,ShemetkovL.A.和SkibaA.N.对群G的F-超中心进行了推广[6],定义了群G的FΦ-超中心,即G中所有非FrattiniG-主因子是F-中心的正规子群的乘积,记为ZF Φ(G),并利用准素子群的弱s-置换性,研究了ZFΦ(G)的结构.

在文[6]的基础上,作者将考虑F-可补子群对有限群的FΦ-超中心的影响. 在研究过程中,主要利用文[4]和[7]中的一些定理和引理. 现在给出F-可补子群的定义.

1预备知识

为方便起见,首先列出一些在后面的证明中将会用到的一些结果.

引理1[4]设G是群,H≤K≤G. 那么

(1) H在G中F-可补当且仅当存在G的一个子群T,使得G=HT,并且

(4) 如果H在G中F-可补,且F是S-闭的,那么H在K中F-可补.

引理2设G是群,p是一个素数,P是G的一个极小正规p-子群. 如果P1是P的一个极大子群,且P1在G中U-可补,那么|P|=p.

如果P1∩K≠1,那么P∩ZU(G)≠1. 但由P的极小性可知P≤ZU(G),因此|P|=p,矛盾.

引理3[6]设Z=ZF Φ(G),N与T是G的正规子群. 那么

(1) Z的每一个非FrattiniG-主因子在G中是F-中心的.

(2) ZN/N≤ZF Φ(G/N).

(3) 如果TN/N≤ZF Φ(G/N),且(|T|,|N|)=1,那么T≤Z.

引理4[3]设N是群G的一个可解正规子群,N≠1. 如果N∩ Φ(G)=1,那么N的Fitting子群F(N)是包含在N内的G的极小正规子群的直积.

引理5[4]设G是有限群,P∈Sylp(G),p是|G|的极小素因子. 如果P的任一极大子群在G中有p-幂零补或U-可补,那么G是p-幂零的.

引理6[8]令E是G一个正规子群,如果F*(E)的每一个G-主因子是循环的,那么E的每一个G-主因子也是循环的.

引理7[2]设G是群,N是G的子群,G的广义Fitting子群F*(G)是G的唯一极大正规拟幂零子群,下列结论成立：

(1) 如果N是G的正规子群,那么F(N)=N∩F(G),F*(N)=N∩F*(G).

(2) 如果G≠1,那么F*(G)≠1;事实上,F*(G)/F(G)=Soc(F(G)CG(F(G)))/F(G).

(3)F*(F*(G))=F*(G)≥F(G);如果F*(G)是可解的,那么F*(G)=F(G).

(4)CG(F*(G))≤F(G).

(6) 如果K≤Z(G),那么F*(G/K)=F*(G)/K.

引理8[9]设H和L是G的正规子群,p∈π(G),那么下列结论成立:

(1)Φ(H)≤Φ(G).

(2) 如果L≤Φ(G),那么F(G/L)=F(G)/L.

(3) 如果L≤H∩Φ(G),那么F(H/L)=F(H)/L.

(4) 如果H是p-群,L≤Φ(H),那么F*(H/L)=F*(H)/L.

2主要结果

定理1设E是G的正规子群,P是E的一个Sylowp-子群,p是|E|的最小素因子.如果P的每一个极大子群在G中有p-幂零补或者U-可补,那么E/Op′(E)≤ZFΦ(G/Op′(E)),F是p-幂零群系.

证明假设结论不成立,取(G,E)是一个极小阶反例.

(1) Op′(E)=1.若Op′(E)≠1,由引理1(3)知,定理的条件对(G/Op′(E),E/Op′(E))成立,从而

即E/Op′(E)≤ZFΦ(G/Op′(E)),矛盾.故Op′(E)=1.

(2) E=P.

若E=G,由引理5知,G是p-幂零的,所以E≤ZFΦ(G),矛盾,从而E≠G,由于(E,E)是满足定理条件的,所以由引理5知,E是p-幂零的. 于是由Op′(E)=1得,E=P.

(3) 如果N是包含在E里的G的一个极小正规子群,那么(G/N,E/N)是满足定理条件的.

(4) 最后的矛盾.

设N是包含在P里的G的一个极小正规子群,由(3)知定理的条件对(G/N,E/N)成立,于是有E/N≤ZFΦ(G/N),NΦ(G)且|N|>p,因此Φ(G)∩E=1. 由引理4知,P是G的所有包含在P内的极小正规子群的直积,由(3)得,N

推论1设E是G的一个正规子群,p是|G|的最小素因子. 如果P的每一个极大子群在G中U-可补,那么E/Op′(E)≤ZFΦ(G/Op′(E)).

定理2设E是G的一个正规子群,如果E的非循环Sylow子群的极大子群在G中U-可补,那么E≤ZUΦ(G).

证明利用极小阶反例法证明.

由文[9]，定理1和引理1(4)可知,E是超可解的,设Q是E的一个正规Sylowq-子群,q是|E|的最大素因子. 若Q是循环的,那么Q≤ZU(G). (G,E)的极小性表明定理的条件对(G/Q,E/Q)是成立的,于是得G/Q≤ZUΦ(G/Q),因此E≤ZUΦ(G),矛盾. 所以可以断言Q是非循环的.

如果Q∩Φ(G)≠1,那么存在G的一个极小正规子群L,使得L≤Q∩Φ(G). 如果E仅有一个非循环的Sylow子群Q,且L是Q的一个极小正规子群,那么由引理6得E/L≤ZU(G/L),即E≤ZUΦ,矛盾.于是由引理1(2)和(3)及(G,E)的极小性得(G/L,E/L)是满足定理条件的,因此由E/L≤ZUΦ(G/L)可得E/L≤ZUΦ(G),矛盾.

定理3设E是G的一个正规子群. 如果F*(E)的非循环Sylow子群的极大子群在G中U-可补,那么E≤ZUΦ(G).

证明利用极小阶反例证明.

令F=F(E),F*=F*(E).于是,有

(1) F*=F≠E. 由定理条件和文[7]定理3.2可知,F*是超可解的,因此,由定理2得F*=F≠E.

(2) 存在p∈π(F*),使得P是F*的一个非循环Sylow子群.

如果F*的每一个Sylow子群是循环的,那么F*的每一个G-主因子是循环的,所以由引理6知,E≤ZU(G)≤ZUΦ(G),矛盾. 故存在p∈π(F*),使得P是非循环的.

(3) 如果G的一个极小正规子群L包含于P,那么|L|>p.

(4) Φ(G)∩P≠1.

(5) 最后的矛盾.

如果E≠G,那么由文[7]定理2知E是超可解的. 由(4)可知,存在G的一个极小正规子群L包含于Φ(G)∩P. 因为L≤Φ(G)∩P≤Φ(G)∩E,由引理8(3)得,F(E/L)=F(E)/L=F/L,又由E的超可解性可得F*(E/L)=F(E/L),所以F*(E/L)=F(E/L)=F*/L. 如果F(E)仅有一个非循环Sylow子群P,并且L是P的一个极大子群,那么由引理6得E/L≤ZU(G/L),即E≤ZUΦ(G),矛盾. 因此E=G. 由文[7]得,G是超可解的,即E≤ZUΦ(G),矛盾.

定理证毕.

推论2设E是G的可解正规子群. 如果F(E)的非循环Sylow子群的极大子群在G中是U-可补的,那么E≤ZUΦ(G).

此外,对极小子群或4阶循环子群,利用文[7-9]的结论,也可以得到相应的结果.

推论3设E是G的正规子群. 如果E的所有素数阶或4阶循环子群在G中U-可补,那么

推论4设E是G的正规子群. 如果F*(E)的所有素数阶或4阶循环子群在G中U-可补,那么

推论5设E是G的可解正规子群. 如果F(E)的所有素数阶或4阶循环子群在G中U-可补,那么E≤ZU(G).

* * * * * *

致谢论文从雏形到定稿,缪龙教授都倾注了大量精力,谨致谢意.

参考文献：

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[4]GuoWB.OntheF-supplementedsubgroupsoffinitegroups[J].ManuscriptaMath,2008, 27: 139-150.

[5]ZhuLJ,MiaoL.OnFs-supplementedprimarysubgroupsoffinitegroups[J].TurkJMath, 2010, 36: 67-76.

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[10]DoerkK,HawkesvT.Finitesolublegroups[M].NewYork:WalterdeGruyter, 1992.

(责任编辑朱夜明)

The influence of F-supplemented subgroups on

the FΦ-hypercentre of finite groups

GAO Bai-jun1, TANG Ju-ping2

(1. School of Mathematics and Statistics , Yili Normal University, Yining 835000,China;

2. School of Mathematical Sciences , Yangzhou University ,Yangzhou 225002, China)

Abstract:A subgroup H of G is called F-supplemented in G if there exists a subgroup T of G such that G=HT and (H∩T)HG/HG is contained in the F-hypercentre ZF∞(G/HG) of G/HG. In this paper, we investigated the influence of F-supplemented subgroups on the FΦ-hypercentre of finite groups, and generalized some known results.

Key words:F-supplemented subgroups；FΦ-hypercentre; finite groups

中图分类号：O152

文献标志码:A

文章编号:1000-2162(2015)04-0020-05

作者简介：高百俊(1980-),女,河南扶沟人,伊犁师范学院讲师.

基金项目:国家自然科学基金资助项目(11271016);新疆维吾尔自治区普通高校重点学科开放课题(2012ZBXK10);江苏省高校研究生科研创新计划项目(CXZZ13-0890)

收稿日期：2014-09-12

doi:10.3969/j.issn.1000-2162.2015.04.005