四元数值函数的小波框架

何建勋, 张 慧

(广州大学 数学与信息科学学院, 广东 广州 510006)

四元数值函数的小波框架

何建勋, 张 慧

(广州大学 数学与信息科学学院, 广东 广州 510006)

令L2(R,H)是定义在实数域取值为四元数的平方可积函数空间. 文章利用小波分析理论研究L2(R,H)上的框架理论,给出了其框架的判定准则,最后构造出这种类型的框架.

四元数值函数; 小波变换; 框架

19世纪早期,爱尔兰数学家Hamilton发现了四元数后,四元数以及四元数值函数的性质得到了充分的研究[1-3].文献[4]中的作者引入了四元数内积,建立了四元数值函数空间L2(R,H)在仿射群P下的连续小波变换的理论.由于框架与小波的紧密关系,小波理论的研究与发展给框架的研究带来了新思想,而且关于希尔伯特函数空间L2(R)的框架理论的文献非常多.本文在L2(R)的小波框架理论基础上将重点构建L2(R,H)上的框架[5-9],并给出框架的判定准则,文中在最后列举相关的例子说明此框架的存在性.

1 预备知识

令H={a+ib+jc+kd:a,b,c,d∈R},其中,

ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j,i2=j2=k2=-1.

对∀q∈H,q=a+ib+jc+kd=(a+ib)+j(c-id)=u+jv,其共轭为

令q1,q2∈H,q1=u1+jv1,q2=u2+jv2,定义从H×H→H的映射·,·

特别地，

接下来考虑定义在实数域R上的四元数值函数,对∀x∈R,

F(x)=f1(x)+jf2(x),f1(x),f2(x)∈L2(R),

且f1(x),f2(x)是复值函数.

现在定义

L2(R,H):={F(x)=

f1(x)+jf2(x):f1(x),f2(x)∈L2(R)},

对∀F(x)=f1(x)+jf2(x),G(x)=g1(x)+jg2(x)∈L2(R,H),定义其内积·,·L2(R,H):

特别地，

显然,上述内积所构成的L2(R,H)是一个Hilbert空间.

设μ(x)是平方可积的复值函数,它的傅里叶变换定义为

对∀F(x)=f1(x)+jf2(x)∈L2(R,H),其傅里叶变换定义为

(ξ)=1(ξ)+j2(ξ),ξ∈R.

记R+={x:x≥0},R-={x:x≤0},令

H(+,+)={F=f1(x)+jf2(x):1(ξ)=2(ξ)=

0,ξ∉R+},

H(-,-)={F=f1(x)+jf2(x):1(ξ)=2(ξ)=

0,ξ∉R-},

H(+,-)={F=f1(x)+jf2(x):1(ξ)=0,若ξ

∉R+,2(ξ)=0,若ξ∉R-},

H(-,+)={F=f1(x)+jf2(x):1(ξ)=0,若ξ

∉R-,2(ξ)=0,若ξ∉R+}.

注意到

j2(pξ)e-2πiqξ).

由此可得H(σ1,σ2)(其中σ1,σ2=+或-)是空间L2(R,H)在酉表示下不可约的不变子空间.显然可得H(+,+)和H(-,-)是相互正交的,且满足:

L2(R,H)=H(+,+)⊕H(-,-).

现在在空间L2(R,H)上讨论连续小波变换,令Φ(x)=φ1(x)+jφ2(x)∈H(+,+)(或H(-,-)),Φ(x)≠0,且满足:

则称Φ是可允许小波函数. 于是,对∀F(x)=f1(x)+jf2(x)∈L2(R,H)，F关于Φ的连续小波变换定义为

(WΦF)(p,q)=F,U(p,q)ΦL2(R,H).

2 四元数值函数的小波框架

在此引入记号

对∀F∈L2(R,H),其关于可允许小波函数Φ的离散小波变换,考虑用

(WΦF)(pm,qm,n)=F,Φq0;m,nL2(R,H)(m,n∈Z)

给出.

一个非零的四元数值函数Φ(x)=φ1(x)+jφ2(x)∈L2(R,H)生成L2(R,H)的一个框架{Φq0;m,n}且有抽样速率q0,如果

∀F(x)=f1(x)+jf2(x)∈L2(R,H)

成立, 其中，A和B是正常数，此时A，B称为该框架的界. 如果A=B,那么这个框架称为紧框架.

定理1若φ1(x)生成L2(R)的框架而有抽样速率q0，φ2=αφ1,α∈C{0}，则四元数值函数Φ(x)=φ1(x)+jφ2(x)∈L2(R,H)生成L2(R,H)的一个框架且有抽样速率q0.

证明

利用Plancherel公式,容易得知:

其中

因此可得:

若φ2=αφ1,α∈C{0},则上式中的

因为φ1(x)生成L2(R)的一个框架,抽样速率为q0,且φ2=αφ1,α∈C{0},故存在正常数A1,B1,A2,B2,且满足0≤A1≤B1<∞,0≤A2≤B2<∞,都有下式成立[10]:

综上所述,

此时,

若A=B, 则有:

证毕.

3 框架的一些判定准则

本节将建立四元数值函数小波框架存在性的一些充分条件.对∀a∈R,先定义调制算子Ea,平移算子Ta和伸缩算子Da如下:当a>0,x∈R,∀F∈L2(R,H),

EaF(x)=e2πiaxF(x),TaF(x)=F(x-a),

DaF(x)=a1/2F(ax).同时也用符号Ea表示指数函数Ea=e2πiax.称(Φ,m,n)生成了L2(R,H)的框架,如果{DamTnqΦ}m,n∈Z构成L2(R,H)的框架.

(2)(L-l)≤1/q.

那么对∀F∈L2(R,H),

证明

根据定理中的条件(1)可得下式成立:

证毕.

由此可见,该定理对于H(-,-)也成立.为此接下来考虑从H(+,+)中取一个母小波,从H(-,-)中取一个母小波,然后组成L2(R,H)的一个框架.

(1)存在A,B,使得

对γ≥0几乎处处成立;

(2)(L-l)≤1/q.

从定理3可见,满足条件2个母小波可以生成L2(R,H)的一个框架,当然更希望如果Φ1,Φ2满足定理3中的条件,则{Φ1+Φ2}可以生成L2(R,H)的一个框架,然而在一般情况下这是不成立的.因此，考虑对定理中的条件加以更多限制,于是有了下述定理4.

定理4 令Φ1,Φ2满足定理3中的条件,且2L<1/q,则{Φ1+Φ2}可以生成L2(R,H)的一个框架.

综上所述,{DamTnqΦ}构成L2(R,H)的一个框架,证毕.

4 举 例

定义一个C1的函数ν如下：

令Φ(x)=(1+jα)φ(x),α∈C{0},取a=2,其中φ(x)∈L2(R),

且

对任意的∀F(x)=f1(x)+jf2(x)∈L2(R,H),令

总有:

于是

[1]SUDBERYA.Quaternionicanalysis[J].MathProcCambPhilSoc, 1979, 85: 199-225.

[2]DEAVOURSCA.Thequaternioncalculus[J].AmerMathMonth, 1973, 80: 995-1008.

[3]QIANT.Singularintegralsonstar-shapedLipschitzsurfacesinthequaternionicspace[J].MathAnn, 1998, 310:601-630.

[4]HEJX,YUB.ContinuouswavelettransformsonthespaceL2(R,H,dx)[J].Appl Math Lett, 2004, 17:111-121.

[5] SUN W C. Density of wavelet[J]. Appl Comput Harmon Anal, 2007, 22(2):264-272.

[6] CHUI C K, SHI X. Inequalities of Littlewood-Paley type for frames and wavelets[J]. SIAM J Math Anal, 1993, 24:263-277.

[7] HEIL C E, WALNUT D F. Continuous and discrete wavelet transforms[J]. SIAM J Math Anal, 1989, 31:628-666.

[8] DAUBECHIES I. Ten lectures on wavelets[M]. SIAM: Philidephia PA, 1992.

[9] GROSSMAN A, MORLET J, PAUL T. Wavelet transform associated to square integrable group representations II[J]. Ann Henri Poinc, 1986, 45:293-309.

[10]CHUI C K. An introduction to wavelets[M]. Boston, MA: Academic Press, 1992.

【责任编辑： 周 全】

Wavelet frame on quaternionic-valued funcitons

HE Jian-xun, ZHANG Hui

(School of Mathematics and Information Sciences, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

LetL2(R,H) be a space of square integrable quaternionic-valued functions defined on real line. We develop the theory of wavelet frame on spacesL2(R,H) by using the theory of wavelet analysis onL2(R). Moreover, we establish some wavelet frame criterion. As an application, an example is given for this kind of wavelet frame.

quaternionic-valued function; wavelet transform; frame

2016-07-06;

2016-09-02

国家自然科学基金资助项目(11271091)

何建勋(1956-),教授, 理学博士.E-mail:hejianxun@gzhu.edu.cn.

1671- 4229(2016)06-0025-05

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