新工具,新面貌

2016-03-05 03:29丁兴春
新高考·高一数学 2016年1期
关键词:代数最值向量

丁兴春

平面向量融数形于一体,具有几何形式与代数形式的双重身份。构造向量来解决代数、三角中的一些问题,不但方法新颖,运算简洁,而且也是启迪我们思维的一种有效的方法。下面我们通过举例说明平面向量这个工具在代数中的一些应用。

一、求值

例1 已知3sinθ+4cosθ=5,求tanθ的值。

解析 本题的一般解法是将3sinθ+4cosθ=5与sin2θ+cos2θ=1联立建立方程组,解出sinθ,cosθ,再求tanθ。这里我们利用向量来解决该问题。

构造向量a=(3,4),b=(sinθ,cosθ),贝a·b=5,且|a|=5,|b|=1,

又由a·b=|a||b|cos,得cos=1,即a,b同向平行,于是有4sinθ=3cosθ,

从而可得tanθ=3/4。

例2 已知0<α<β<γ<2π,且cosα+cosβ+cosγ=0,sinα+sinβ+sinγ=0,求β-α的值。

解析 构造向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(cosγ,sinγ),贝a,b,c有共同的起点O(坐标原点),它们的终点A,B,C均在以O为圆心的单位圆上,且A,B,c三点按逆时针方向排列。依题意得a+b+c=0,因此点O为△ABC的重心,又知点O为△ABC的外心,从而可知△ABC为等边三角形,于是β-α-γ-β=2π/3。

二、求函数的最值

利用向量方法往往可以解决一些带根式的函数最值问题。

如图1可知,欲使得最大,则a的终点应为(2,0),故当x=0时,f(x)取到最小值为6。

没有而去构造,构造而去应用,解题另辟蹊径,面貌焕然一新。这是解题的智慧,这是数学的魅力,这是创造的价值。

当然不是所有的代数与三角问题都可以通过构造向量的方法解决,当一个代数问题中蕴含了一些与向量相关的量,比如常见的数量积、模长等,这个时候不妨考虑构造恰当的向量来解决问题,这是利用向量工具来解决代数与三角问题的关键。

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