平面向量中基本概念常见错误剖析

翟爱国

由于平面向量的概念、性质、运算较多，且易与实数有关的性质和运算混淆，因而造成同学们对某些基本概念或公式的认识较模糊，使同学们的解题思维走入思维定势、类比不当等误区，下面对平面向量基本概念的常见错误进行分类剖析。

一、忽视零向量的特殊性

例1 a，b是任意向量，给出下列命题：

①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；

②|a|+|b|=|a+b|成立的充要条件是a与b同向共线；

③若a与b共线，则有且仅有一个实数λ，使a=λb；

④若a∥b，则a与b的方向相同或相反。

上述命题中正确的有____个。

错解 4。

剖析 对于不重合的三条直线a，b，c，满足a∥b，b∥c，则a∥c，但在平面向量中却不一定成立。事实上，若b=0，由于零向量与任意向量都是平行向量，则a与c不一定共线，所以①不正确；

命题②忽略了a或b为零向量的情况，所以②不正确；

命题③中若b=0，任意向量a均与b共线，但不一定有a=λb，所以③不正确；

命题④中，仅仅适合于a与b均为非零向量的情况，所以④不正确。

正解 0。

评注 1.解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明其正确与否，特别应注意零向量的特殊性。

2.在初学向量时绝对不能把0与0混为一谈：0表示长度为0的向量，即|0|=0。它的方向是任意的，规定0与任意一个向量都平行；而0是一个没有方向的实数。下面几个式子都是错误的：（1）a-a=0；（2）a+0=a；（3）0·a=0；（4）|a|-|a|=0。

二、忽视向量共线与直线重合的区别

例2 已知A（-1，1），B（1，5），C（-2，-5），D（4，7），判断直线AB与直线CD是否共线？

评注 1.方向相同或相反的非零向量称为平行向量，特别规定零向量与任一向量都平行。由于任何一组平行向量都可平移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量，从而可知向量平行与直线平行的区别：两个向量平行（也称共线）包含两个向量重合，两条直线平行不包含两条直线重合。

2.若非零向量b与a共线且它们有公共的点，则它们所在的直线重合。

三、忽视向量运算与实数运算的差异

例3 下列5个命题：

①若a≠0，则对于任意的非零向量b，有a·b≠0；

②若a≠0，且a·b=a·c，必有b=c；

③（a·b）·c=a·（b·c），对于任意向量a，b，c都成立；

④若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b。

其中正确命题的有____个。

错解 4。

剖析 在实数运算中，若a≠0，b≠0，则ab≠0；若a≠0，且ab=ac，则b=c，以及（a·6）·c=a·（b·c）都成立，但在平面向量中，类似结论不一定成立。

事实上，由向量的数量积定义可知，a·b=|a|·|b|cosθ（其中θ是向量a与b的夹角），因此a·b=0，应有a=0或b=0或a⊥b，所以①与②都是错误的。

对于③，因为向量的数量积是一个数量，而实数与向量的积是一个向量，要说明两个向量相等，不仅方向要相同而且大小要相等，而③中等式的左边是与c共线的向量，右边是与a共线的向量，所以③是错误，即向量的“乘法”不满足结合律。

对于④，两个向量不能用“>”来比较。同学们经常混淆向量与向量的大小两个概念，向量是既有大小又有方向的量。向量的大小即向量的模是一个数量，可以比较大小，但向量的方向却无法比较大小，因此向量无法比较大小。

正解 0。

评注 具体可参考前文《向量个性知多少？》

四、忽视函数图象平移与向量平移的区别