倾听音乐与数学的神奇交响

张志勇

《梁祝》优美动听的旋律，《十面埋伏》的铮铮琵琶声，贝多芬令人激动的交响曲，田野里昆虫啁啾的鸣叫……当你沉浸在这些美妙的音乐声中时，是否曾想过它们其实与数学有着密切的联系？

“多情外化”的音乐与“严谨抽象”的数学间确实存在剪不断、理还乱的缘分。姑且不提音高的数学本质，也不论曲式结构中的数学规律，只从乐曲中最基本的简谱音符“1，2，3，4，5，6，7”是人们应用或提及最为频繁的数字便可见一斑。事实上，乐音之所以和谐、悦耳、动听，是因为它有着周期性的振动频率（如国际标准音a¹的振动频率是每秒钟440次，e²是每秒钟660次，a²是每秒钟880次）；一组和声（不同音高的乐音的组合）之所以能给听众以悦耳的体验，是因为组成这组和声的音频间有协和的比例关系（能表示为简单整数比）。德国著名数学家莱布尼兹说：“音乐，就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的。”而爱因斯坦说得更为风趣：“我们这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学公式组成。”

物理学知识告诉我们，声音是由振动产生的，乐音也不例外，而三角函数正是对振动波的数学描述。这样，音乐与数学之间的不可思议的天然联系，恰可以三角函数知识来加以阐释。

我们知道，乐音有响度、音调、音色之分。如果用正弦函数y=Asin（ωt+φ）来表示声音的话，那么响度反映声音的强弱，由振动的振幅A决定，振幅越大声音越强响度也就越大；音调反映声音的高低，由振动的频率f=2π*/ω决定，频率越高振动越快音调也就越高；音色是什么