基于Maple软件《常微分方程》一体化教学的探讨

李银，位瑞英

（韶关学院数学与统计学院，广东韶关512005）

基于Maple软件《常微分方程》一体化教学的探讨

李银，位瑞英

（韶关学院数学与统计学院，广东韶关512005）

基于由加拿大Waterloo大学研究组开发的符号计算软件Maple,对常微分课程理论与实用协同一体化教学进行了研究与探讨.首先,利用软件强大的符号计算功能，对方程解的动态化、“形”与“数”的同步进行了探讨;其次,运用Maple作图功能辅助方程课的教学和展示;最后,通过创设情境、做数学实验等方式,可以优化课堂教学,提高教学成效.

Maple软件;常微分课程;优化教学

随着信息技术对现代教育的冲击,大学里一些基础课程面临着创新和提高;数学是研究现实世界中空间形式和数量关系的科学［1-2］,数学表现出高度的抽象性和应用的广泛性的特点,具有特殊的公共基础地位,其重要性显而易见.基于Maple软件的数学教学从学生实际出发，创设的问题情景，引导学生通过实践思考探索交流,获取知识,形成技能,拓宽思维,学会学习,促使学生在教师指导下生动活泼地主动地富有个性地学习.

在组织教学的过程中应该以学生为主题的课堂理念来组织教学,有选择的来应用实验,启迪心智、增进学生的素质.PPT的简单与完美、Word的朴实、几何画板的清新快捷、Flash动感与浪漫、Maple的“万变不离其宗”,让数学教学变得丰富多彩.

因此,数学软件的应用,可以优化课堂教学，大幅度地提高教学质量.在目前的教学中,Maple，Mathematica，MATLAB等软件使用较为广泛［3］,本文则主要对Maple在常微分课程教学中的应用作些探讨.Maple是一个易学易用的符号计算软件,它的最大优势能让方程的解动起来及“形”与“数”的同步.具体思路见图1.

图1 Maple在常微分课程教学中的应用思路

1 运用《Maple软件》进行理论学习探讨

常微分方程是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学专业的一门专业必修课.它不但是数学的基础课,同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础.在教学当中,教师应加强基本理论的教学，同时也要注意运算技能的培养和训练;通过典型例子、做练习题这些环节,帮助培养、提高解题能力和技巧.课程的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次,循序渐进,环环相扣.课程的内容主要包括模型建立、一阶方程的求解、解的存在唯一性、高阶方程的求解、方程组的求解、稳定性(选讲)等内容.

在《常微分课程》实验教学［4-5］中,利用Maple教学的目的是使学生掌握数学实验的基本方法和思想.基本理论的教学一直是教学的难点,需要将理论概念中“易错易混”的内容在教学中有许多需要反复比较、仔细观察、认真体会,从而发现一些数量关系、位置关系.从实际问题出发,借助符号计算和Maple软件,通过自己设计和动手,提出自己的猜测并找出支持论据,从实验中学习、探索和发现数学规律.如:课程中的极限问题.

这是极限中的一个重要极限,通过严密的证明推导得出结果,技巧较高,过程抽象.老师可以通过Maple作图,让学生从图形中观察极限的渐进过程,加深对定义的理解.

由图2可知,当x→1时f(x)→1．图2对学生的直观思维起了很好的引导作用,使学生能很好体会极限的含义,为以后的学习打下坚实的基础．函数的左、右极限也是相当抽象的概念．若单纯从定义的角度来解释,不仅单调乏味,学生有时也感到难以接受．通过几何图形来深化它的外延和内涵,将使概念易学易懂．

图2 极限问题

图3 方程解曲线问题

例2解方程的初值问题：y=1-y2,y(-4)=2,y(-4)=-0.99.

对于方程的求解,同学们感到非常的困难，通过Maple作图（见图3），让学生从图形中观察方程解的渐进过程,加深对方程求解的理解.

With(DEtools):

DEplot((D(y))(x)=1-y(x)^2,y(x),x=-4..4,[[y(-4)=-.99],[y(-4)=2]],title='AsymptoticSolution',color=blue,linecolor= [gold,purple]);如图3所示,红色曲线代表y(-4)=-.99;紫色代表y(-4)=2.

2 基于《Maple软件》作图验证结论的准确与错误

常微分课程中有很多类型方程如表1,其类型的结论与求解各不相同，其结论的逆命题不一定成立,也有很多命题是假命题,可以通过Maple强大的计算功能和绘图功能来验证命题的准确与错误.

在函数微分中,已知函数单调性的分界点是函数的极值点,但是反之未必成立,其反例为：

从反例到一元函数而言,函数的极值点不一定是函数单调性的分界点.用生动的反例驳斥错误的命题是行之有效的手段.而借助图形直观、明显说服力强等突出优点,学生将非常容易从反面消除一些易出现的模糊认识,正确区分相近易混的命题、定义,从而对知识的理解和掌握更加牢靠深刻.

表1 微分方程的类型

对于学生来说,方程的解都是很难求的,齐次方程学生勉强可以应付,但对于非齐次,学生感觉会力不从心.显然,怎样把数学难题、教学的难点等通过直观图形表现出来的,可使学生获得直观感知,加深印象.

Maple命令窗口输入：

>dfieldplot(diff(x(t),t)=exp(-t)-2*x(t),x(t),t=-2..3,x=-2..3,axes=BOXED);

向量场输出结果见图4.而解的渐进形态见图5.此时Maple命令窗口输入：>

phaseportrait(diff(y(t),t)=exp(-t)-2·y(t),y(t),t=-2..3,{[0,0],[0,0.2],[0,0.4],[0,0.6],[0,0.8],[0,0.1]},y=-2..3,axes=BOXED)

从图形4中可以发现方程解的一些特征：当x<0时,积分曲线在一点是递增的.当t→∞时,所有的借都趋于零.这样通过直观图形可以把教学的重点呈现出来,可是学生获得直观认识,深化理解水平,这也弥补传统教学的不足,对教学的效果有很好的提高作用.

图4 极值点反例

图5 方程向量场问题

3 利用图形辅助微分方程数值解的有关计算

在方程应用中,许多方程是超越方程,很难甚至得不到符号解.解决的途径是要了解曲线的图形,确定搜索区域,因此绘出曲线图形成为此类问题解决的关键.通过Maple作图,可以从繁杂的数据和复杂的函数公式中观察变量的内在关系,感受由图形所传递的深层信息，如图6所示.

图6 解的渐进形态

图7 方程数值解

Step1画出函数的图像,见图7；

Step2确定区域,求数值解,见表2.

程序：

>alias(y=y(t),y0=y(0),yp0=D(y)(0)):

>eqn:=diff(y=y(t),t$2-(1-y(t)2)·diff(y(t),t)+y(t)=0; >init:=y0=0,yp0=0.1;

>F:=dsolve({eqn,init},y,type=numeric);

>with(plots):

>odeplot(F,[t,y],0..50,color=blue);

表2 微分方程的数值解

Step1列出方程组及初值,画出函数的图像,见图8和图9；

Step2确定区域,求平面及三维数值解.

程序：

>restart:

with(DEtools):

eq1:diff(y=y(t),t)+y(t)+x(t)=0:

eq2:y(t),diff(x(t),t):

inil:=x(0)=0,y(0)=5:

ini2:=x(0)=0,y(0)=-5:

>DEplot({eq1,eq2},[x(t),y(t)],t=-5..5,[[ini1],[ini2]],stepsize=0.1);

>DEplot3d({eq1,eq2},[x(t),y(t)],t=-5..5,[[ini1],[ini2]],stepsize=0.1,color=blue);

Maple为基于图形的教学提供了很好的手段,借助于软件绘制的图形可以直观,充分体现方程的概念、定理的内涵,克服传统教学中讲解内容抽象,教学内容难于推广等方面的不足,使抽象的数学教学更加形象生动.

图8 方程组平面解

图9 方程组立体数值解

4 结语

对于将来要以数学为工具解决各种实际问题的学生来说,需要准确、快捷的计算和严密的逻辑推理.面对一个实际问题时,在计算、推理之前,首先要用数学语言描述它,建立方程模型;在得到方程的解之后,要结合实际进行分析、检验、修正.传统的数学教学体系和内容则偏重于前者,对于后者的实践远远不够.学生在毕业之后解决实际工作中的问题时,对复杂问题不知如何简化,不知道如何将研究问题抽象成一个简单的方程模型来反映客观事实;想象力差,分析问题、解决问题的能力比较低.在平时的教学过程中,若能引入Maple软件,智能化学习与独立解决问题,这样会大大提高学生解决实际问题的能力,有利于理论与实际有效的结合,提高教学效果.

［1］王剑侠，龚力强.Maple在高等数学教学中的应用[J].广州大学学报（自然科学版），2002，1(6)：69-73.

［2］周甄川，吕同斌.Maple的图形绘制功能在高等数学教学中的应用[J].黄山学院学报，2010，12(6)：117-119.

［3］纪宏伟.几何图形在高等数学中的作用及在Maple下的实现[J].高师理科学刊，2011，31(4)：1-3.

［4］冯玮，涂伟霞.由浅入深学Maple[M].北京：国防工业出版社，2002.

［5］何青，王丽芬.Maple教程[M].北京：科学出版社，2006.

Discussion on Integrative Teaching of Ordinary Differential Equations via Maple Software

LI Yin,WEI Rui-ying
（School of Mathematics and Statistics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

This paper studies and discusses the integration teaching of the ordinary differential course theory via a symbolic computation software maple developed by the University of Waterloo.Firstly,using the powerful symbolic computation function of software,the dynamic of equation solution and the synchronization of"shape"and"number" are discussed.Second,Maple mapping function to assist the teaching and demonstration of the course is presented. Then,by creating the situation,do mathematical experiments,etc.,which can optimize the classroom teaching, improve teaching effectiveness.

Maple software;ordinary differential equations;optimize teaching

G624.0

A

1007-5348（2016）12-0073-05

（责任编辑：邵晓军）

2016-10-20

国家自然科学基金项目(批准号11501373);广东省教改项目(编号2015558).

李银(1980-),男,河南周口人,韶关学院数学与统计学院副教授，博士；研究方向：数理方程.