“古典概型”运用要点剖析

赵纪青

(鹤壁职业技术学院， 河南鹤壁　458030)



“古典概型”运用要点剖析

赵纪青

(鹤壁职业技术学院， 河南鹤壁458030)

摘要：概率论是一门研究随机现象发生规律的学科，其中规律是通过计算事件发生的概率来衡量的，从而概率的计算问题变得尤为重要。解决该问题的方法多种多样，利用“古典概型”来计算随机事件的概率，是概率论的核心基础内容之一。“古典概型”虽然思想简单，但在应用时却常常出错。为了更好地理解“古典概型”方法以及准确快捷地利用它解决实际问题，通过实例对应用“古典概型”计算概率的方法进行剖析，总结出有助于理解以及合理应用“古典概型”方法的四个要点。

关键词：古典概型；样本空间；对立事件；二项分布

许多概率论的教材中对“古典概型”的介绍都是先叙述方法的基本思想即[1-4]：1)所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n个，简称有限性；2)每个样本点发生的可能性相等，简称等可能性；3)若事件A含有k个样本点，在事件A发生的概率为

通过几道不同类型的例题来巩固“古典概型”方法。针对该情形，学习者一般是一教就会，但实际练习中常常出错。赵辉[5]对“古典概型”的三种基本模型的概率计算方法进行了归纳，在一定程度上使学习者对“古典概型”的基本模型有一定的了解，但没有分析容易出错的现象，难免会出现“一看就懂，一做就错”的现象；游玲杰、吴绍兵[6]与张旭[7]等从计算n、k一致性、准确性、技巧性方面对古典概型概率计算中常见错题进行了分析，但分析的角度还不够细致；张健、徐传胜[8-9]研究了如何选择样本空间而简解古典概型，但研究角度稍显单一。笔者通过古典概型的基本模型实例，从容易出错的情况详细分析，总结出有助于更好理解以及应用“古典概型”方法的四个要点。

1应用“古典概型”方法的要点

1.1看清题意，简化样本空间

摸球模型中的放回摸球中有这样的例题[10-13]。

例1有一袋内装有编号为1~5的5个球，从袋中有放回地任取3个球，问3个球的编号能组成奇数的概率？

错解要求“3个球编号能组成奇数”的概率，只需求“3个球的编号全部是偶数”的概率，再利用事件对立关系求解，于是解答过程如下：

这个分析过程错在忽略了题意中的“有放回地”。所求问题等价于求“第三次摸到奇数号球”的概率，所以正确解法：

此处利用了古典概型的方法求概率，其样本空间Ω所含的样本点个数为53。样本空间中的样本点较多，从而思考在满足有限性、等可能性的基础上简化样本空间，得到了一下更加简单的方法。

例2有一袋内装有编号为1~5的5个球，从袋中无放回地任取3个球，问3个球编号组成奇数的概率？

例2是把例1的有放回改成无放回，其他条件一样，通常的分析是“把五个球全排列，只需第三个球的号码是奇数”接着用古典概型的方法得到解法一：

例3袋中有a个白球和b个黑球，从中无放回地依次取出k个(1≤k≤a+b)，则最后一次取到的是白球的概率为多少？

例4将1，2，…,n任意排列，则数字2在1前面的概率为多少？

此错在于题意理解错误即把“数字2在1前面”理解成了“数字2在1前面，并且相邻”。通常的利用古典概型方法的正确解法为

首先要看清楚题意，然后在满足有限性、等可能性的情况下尽可能地简化样本空间再利用古典概型方法求概率，就会大大地提高正确率与速度。

1.2确保所求事件A、Ω一致性

例59件产品中有2件不合格品，从中不放回地任取2件，求取出的产品中只有一件合格品的概率是多少？

例6从一个装有n个白球和n个黑球的袋子里逐一把球取出，直至取完为止，求黑、白球恰好相间的概率为多少？

1.3转化对立事件求解，减小难度

例7从5双不同的鞋子中任取4只，求取出的4只鞋子中至少有2只配成一双的概率。

例8一个班级有50人，一年365 d，至少有2个人生日相同的概率是多少？

1.4转二项分布，避免使用排列组合求解

例9一位邮递员将3封信随机地投入4个信箱，第一个信箱恰有一封信的概率是多少？

例10有5个不同的球，每个球都等可能落入10个盒子中的每一个，求在指定的一个盒子中恰有3个球的概率。

类似于上面两道例题的古典概型问题可以转化成二项分布求解，而避免了使用排列组合的知识求解，则在排列组合中容易出现的错误就消除了从而提高了准确率与速度。

参 考 文 献

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[3]牟娟.基于数学史的高中概率与统计的教学案例开发[D].兰州:西北师范大学,2014.

[4]郭朋贵.关于概率概念的教学研究[D].武汉:华中师范大学,2006.

[5]赵辉.古典概型的模型归纳和计算方法[J].教材与教法,2003(6):62-63.

[6]游玲杰,吴绍兵.古典概型计算原则及错解透视[J].教学参考,2006(82):29-30.

[7]张旭.古典概型概率计算中常见错题剖析[J].读与写,2008(6):68-69.

[8]张健.古典概型下样本空间的选取及其意义[J].唐山高等专科学校学报,1999 (4):3-9.

[9] 徐传胜.巧选样本空间简解古典概型[J].数学通讯,2003(12):17.

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[13]库在强.关于选票问题古典概型的教学设计[J].黄冈师范学院学报,2012(6):57-59.

[14]赵森烽,赵克勤.频率型联系概率与随机事件转化定理[J].智能系统学报,2014 (1):53-59.

[15]于海芳,华志强.古典概型问题解析[J].长春教育学院学报,2012 (7):54-56.

The Highlights of the Use of “Classical Probability Model”

ZHAO Jiqing

(Hebi Polytechnic, Hebi 458030, China)

AbstractProbability is a discipline that studies the law of random phenomena, in which the law is measured by the probability of occurrence, so the problem of calculating the probability becomes very important and has many computing methods. Classical probability model, one of the core elements of the probability theory, is simple but often makes mistakes in the application. For this purpose, the paper analyses the probability calculated by using classical probability in illustrative examples and summarizes four main points that are helpful to understand and solve practical problems accurately.

Key wordsclassical probability model; sample space; opposition event; binomial distribution

文章编号：1009-0312(2016)01-0115-04

中图分类号：O211

文献标识码：A

作者简介：赵纪青(1976—)，女，河南遂平人，副教授，硕士，主要从事组合数字研究。

收稿日期：2015-10-20