含参导数问题的五种求解策略

甘肃 张建虎

含参导数问题的五种求解策略

甘肃 张建虎

以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向．运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围．解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过分离参数、数形结合、分类讨论等思维方法进行求解．而求解策略的恰当选择，取决于求解策略是否准确，本文就此类含参数的导数问题做如下阐述．

1．分离参数，化为最值问题

（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）当x∈［1，2］时，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值范围．

【评注】本题中，参数a可以用含x的函数来表示，因此想到分离参数，进而转化为最值问题．上述解法可以实施的前提是变量a可以比较方便地“分离”出来，用含x的函数来表示，且可以确定新函数g（x）＝f′（x）在区间（－1，1）是单调递增的．若变量a无法分离，或新函数h（x）的单调性无法确定（h（x）存在极值点，但又无法求出此极值点），那“分离参数”这个方法在此就不合适了．为此，本题还提供一种对此类问题的一般性解法．

【变式练习】设函数f（x）＝kx3－3x＋1，x∈R，若对于任意x∈［－1，1］都有f（x）≥0成立，求k的取值范围．

【提示】分x＞0，x＝0，x＜0依次讨论并对k的取值范围求交集，即得k＝4．

2．分类讨论，逐一分析

题目见【例1】

【评注】虽然解法一可以避免分类讨论，简洁程度明显优于解法二．但解法二给出了求函数最值的基本方法，适用范围较广，也……