一维三粒子系统的磁化平台与热力学性质研究

王　劲,罗　有，廖艳华

(湖北理工学院 数理学院,湖北 黄石 435003)



一维三粒子系统的磁化平台与热力学性质研究

王劲,罗有，廖艳华*

(湖北理工学院 数理学院,湖北 黄石 435003)

摘要：采用伊辛模型，引入统计物理中配分函数方程，推导出具有不同自旋数值的一维三粒子系统的磁矩关系式。研究结果表明：粒子之间的交换作用与磁场之间形成竞争，竞争的结果导致磁化过程中出现磁化台阶。台阶处对应的磁矩值与单粒子自旋大小有关，且台阶的宽度会受到交换强度的影响。

关键词：伊辛模型；配分函数；磁矩

0引言

伊辛模型是描绘相邻微观粒子之间相互作用的最简单的物理模型，可以用它来研究系统的相变和临界现象[1-2]。1925年，该模型提出者伊辛采用“组合法”严格求解了一维伊辛模型(经典模型)，后被海森堡证实一维伊辛模型不存在铁磁-顺磁相变。布喇格(Bragg) 和威廉斯(Williams)于1941年采用矩阵解法，更为严格地求解了一维伊辛模型。 在1944年，美国物理化学家昂萨格(L.Onsager)采用布喇格-威廉斯的一维矩阵思想，受到一维梯子模型启发，采用矩阵方法严格求解了平面正方二维伊辛模型，证明确实存在一个相变点[3]。但对三维伊辛模型的严格解，迄今为止，尚未有人得出。理论工作者采用该模型研究了一系列有关相变和粒子输运的问题[4-5]，特别是采用蒙特卡罗的方法对三维的伊辛模型进行了比较深入的研究[6]。伊辛模型的理论和实际意义，已经大大超出了相变临界现象的研究领域，被广泛地应用于研究诸多凝聚态物理问题，如用它能较好地描述各向异性很强的镝铝石榴石的磁性产生机制。

近年来，一些理论工作者对低维自旋系统中的低温磁化平台产生的机制进行深入研究[7-8]，尝试采用量子机制和量子无序来解释。本研究通过建立一维三粒子的近伊辛模型，获得一维热力学配分函数，推导出三粒子系统的磁矩，以期用少体问题理解具有不同自旋粒子链的磁化平台产生的量子机制。

1一维伊辛模型及其配分函数

对于具有N个处于晶格格点位置上的自旋粒子系统，每个粒子自旋可以取向上或向下2种态，在只考虑最近邻粒子间相互作用情况下，这样的自旋系统被称之为伊辛模型，其哈密顿量为：

(1)

其中J代表两粒子之间的交换相互作用，当J>0时描述的为反铁磁关联；J<0时描述的为铁磁关联。σi(σj)代表第i(j)个格点位置的自旋，取正值时表示自旋沿着z轴正方向，自旋向上；负值表示沿z轴负方向，自旋方向向下。B表示沿z轴方向的外加磁场。

三格点模型示意图如图1所示，其哈密顿量可以表示为：

H=JSz(1)Sz(2)+JSz(2)Sz(3)-B[Sz(1)+Sz(2)+Sz(3)]

(2)

(3)

引入热力学配方函数:

(4)

则系统的磁矩为：

(5)

1.2格点中粒子自旋为±1时

当格点自旋为±1时，由式(2)可得格点中粒子处于不同自旋方向时本征值为：

(6)

引入热力学配方函数:

2(2+e2JB)cosh(Bβ)

(7)

则系统的磁矩可表示为:

2(2+e2Jβ)·sinh(βB)]

(8)

(9)

引入热力学配方函数:

(10)

此时系统的磁矩为:

(11)

1.4格点中粒子自旋为±2时

当格点自旋为±2时，由式(2)可得格点中粒子处于不同自旋方向时本征值为：

(12)

引入热力学配方函数:

2(2+e8βJ)cosh(2βB)

(13)

此时系统的磁矩为:

(14)

2结果与讨论

由式(3)~(14)，笔者绘制了一维三格点系统的磁矩随磁场和交换强度之间的变化关系。

3结论

通过对一维的三粒子伊辛模型研究，发现当交换项J值较小时，磁场很容易使三粒子系统形成铁磁关联，J作用无法显现；随着J的增加，磁矩随磁场的增大会出现台阶，台阶处对应的磁矩大小就是该单粒子自旋值大小，且当单粒子自旋值增大时，台阶长度变长。台阶处应是粒子之间的交换项所导致的反铁磁与由磁场导致的铁磁之间的竞争过程。连续变化粒子之间的交换强度，笔者发现在小磁场环境下，由交换项所导致粒子之间的铁磁关联(J<0)由于混合态的存在而致使总磁矩不强，随着磁场增加，磁矩会逐渐增强。但磁场增大到一定值时，能使得混合态成为单一的铁磁关联，此时磁矩达到最大值。同时我们还发现，在一定磁场环境下，变换交换强度到反铁磁关联时(J>0),磁矩线会有一个平滑的下降过程，且最小磁矩值也会随着磁场的增大而增大。当磁场增加到一定值时，最小磁矩为单粒子的自旋值。在此变化过程中，可以发现当磁场为0时，磁矩为0，与温度大小无关，热学效应没有体现，说明一维近伊辛模型无相变。

参 考 文 献

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[6]A M Ferrenberg,D P Landau.Critical behavior of the three-dimensional Ising model:A high-resolution Monte Carlo study[J].Physical Review B Condensed Matter,1991,44(10):5081-5091.

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[9]李正中.固体理论[M].北京:高等教育出版社,2002:62-67.

(责任编辑黄小荣)

Magnetization Plateau and Thermodynamic Properties in One-dimensional Three Particle System

WangJin,LuoYou,LiaoYanhua*

(School of Mathematics and Physics，Hubei Polytechnic University,Huangshi Hubei 435003)

Abstract：Using the effective Ising model and partition function equation,the formula of magnetic moment in a one-dimensional three particle system is deduced.It is found that a competition exists between the exchange interaction and the magnetic field,resulting in the occurrence of magnetization steps.The value of steps relates to the size of the single particle spin.In addition,the width is affected by the exchange interaction.

Key words：ising model;partition function;magnetic moment

中图分类号：O482.51

文献标识码：A

文章编号：2095-4565(2016)01-0046-05

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2016.01.011

*通讯作者：廖艳华，讲师，博士，研究方向：强关联电子系统。

作者简介：王劲，本科。

基金项目：湖北理工学院教学改革研究项目(项目编号：2015B09)；湖北理工学院实验室开放基金项目。

收稿日期：2015-04-07