归还权利，创造空间
——数学教学中培养学生数学思级的探索与实践



归还权利，创造空间
——数学教学中培养学生数学思级的探索与实践

◇安徽吴亚零

《考试大纲》中指出:“数学思想方法是数学的灵魂、是学生形成良好认知结构的纽带、是知识转化为能力的桥梁、是培养学生良好的数学观念和创新思想的载体,在教学中我们应重视数学思想方法的渗透教学．”从近几年高考数学试题看,多数题目偏重于运用数学思维解决新问题,“思维容量大”,使得忽视思维训练的学生得不到高分．因此,数学思维训练应当引起重视．

本文从数学解题的3个过程(审题、确定解题方法和思想、了解知识点考查的“陷阱点”)出发,阐述如何培养数学思维．

1审题之初:注重“问题导向”构建数学思维

所谓审题,就是弄清楚题目内涵,找已知和未知的关系,并用数学符号表示出来．和审题密切相关的是“问题表现”,即通过审题认识和了解问题的结构,激活与之相关的知识经验,形成对所要解决问题的一种完整印象．如“二元一次不等式组”的应用.

故在“二元一次不等式组”新授课时应注重引导学生探究“线性规划”知识可用于解决的问题类型,激发学习兴趣．

2解题之中:留足“思考空间”激发数学思维

有的学生只会做讲过的题,不会思考新题,缺乏独立解决问题的能力．课堂教学时应多让学生讲,让学生思考,留给学生空间．

学生利用函数y=2x与y=lnx在(0,+∞)上无交点,得出“当a>1时函数y=ax与函数y=logax在(0,+∞)上都无交点”.笔者并未指出错误,而让同学们在同一个直角坐标系中画出2个函数图象.有的同学结论是没交点,有的是1个、有的是2个．同学们发现结论不全面．

其中一位同学认为结果可能相交,也可能无交点,与底数a有关．可利用函数f(x)=ax-logax在(0,+∞)的零点个数来确定a的范围．

笔者肯定了他的结论,又引导他思考y=ax与y=logax互为反函数,于是又有学生指出判断函数f(x)=ax-x在(0,+∞)上的零点个数即可,y=ax与y=logax是互为反函数,图象关于y=x对称．

学生解题过程如下.

当10. 所以f(x)在(0,x0)递减，在(x0,+∞)递增，所以

f(x)≥f(x0)=ax0-x0=logae-loga(logae).

这节课强调学生思考,比直接让学生判断零点个数有效．

复习课注重问题设计,一般分为基础题和综合题．设计基础题时要注意以下几点.

1) 覆盖课本上最重要和基本知识.

2) 有利于提炼思想方法及检查学生的概括和应变能力.

3) 问题的设计要新颖,要按逻辑顺序编排、由浅入深．尽量设计具有现实意义的问题,能运用一定的思想方法解决的问题．

求参变量的取值范围．适合采用变式教学,因为当学生产生认知失衡导致紧张感后,为了消除紧张,就会产生认知需要,萌发探索未知的强烈愿望．

分析理解任意和存在这2个逻辑连词,得出题意是求gmin(x2)≤fmin(x1)+7/2．

变式1若存在x1∈[-1,1],x2∈[1,e],使得g(x2)≤f(x1)+7/2,求实数a的取值范围．

(gmin(x2)≤fmax(x1)+7/2).

学生尝试编写如下变式:

变式2若对任意的x1∈(-1,1], 存在x2∈[1,e],使得g(x2)

(gmin(x2)

变式3若对任意x1∈[-1,1], 存在x2∈[1,e],使得g(x2)=f(x1)+7/2,求实数a的取值范围．(Af⊆Bg(其中Af与Bg分别为f(x)和g(x)的值域))

变式4对任意x∈[1,e],使得g(x)≤f(x)+7/2,求实数a的取值范围．(分离参数法)

同学们通过自己变题并解决问题，并加深了对“求参变量的取值范围问题”的理解．

3发现“陷阱点”增强学生的数学思维

高三一轮复习重点是夯实基础,防止解题失误．学生考试后常感觉题目都做了,得分却不理想．原因是不清楚命题者的用意．这就要求学生扎实基础知识,深入理解概念,教师应在上新课时设计好问题串,帮助学生深入理解和掌握所学内容．

例如:“函数的极值”概念的理解.

问题1f(x)=x3在区间(-∞,+∞)上有极大值与极小值吗?

(验证导函数等于零的根与存在极值点之间的逻辑关系.)

(验证极大值是否一定大于极小值.)

问题3求f(x)=x3-2x2+x在区间[-1,1]上的极值．

(验证区间的端点是否可以为极值点.)

问题4如果函数f(x)的导函数为f′(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),求f(x)极大值点与极小值点．

(验证极大值与极小值的个数是否唯一.)

“问题式”概念的理解效果远大于“说教式”,对概念的诠释更深刻．也为高三复习做好了铺垫,再复习这个知识点时学生能有的放矢,了解题目的“陷阱”,减少易错点．

(作者单位：安徽合肥市第六中学)

笔者给出以下变式: