建空间观念促合情推理
——以《剪手拉手的四个小人》为例

江 澜

2013人教版数学二年级下册出现的《剪手拉手的四个小人》是修订后的教材在解决问题方面关于“图形与几何”领域所作的又一突破——通过让学生利用轴对称图形的知识解决剪出给定图案的问题。在教学中，笔者确定了四次动手操作的时机，以建空间观念，促合情推理为抓手，促进学生对本课的学习。

【课前“动”：清晰概念，巩固“轴对称”表象】

师：昨天老师布置你们在家剪一个轴对称图形（一棵树）。你们剪成功了吗？

作业中老师设置了几个问题，请你们在组内交流一下。

1.为什么要把纸张对折？

2.要剪出一棵树，为什么只要剪半棵就可以了？

3.图案要画在开口处，还是封口处（对折线上）,为什么？可以剪一剪，看看两种情况有何不同。

组1：把纸张对折是为了找到对称轴，保证剪出来的树是对称的。

组2：树是对称的，所以只要剪半棵，另一半是一样的。

组3：图案要画在封口处，如果在开口处，剪出来就是分开的，没有连在一起。

【设计说明：学生通过剪简单的轴对称图形，以及对作业中问题的思考，对“轴对称图形”的认识再次深入，对如何剪出简单的轴对称图形有更清晰的认知。】

【“第二动”:经历推理，体悟“几次”与“几份”的关系】

师：看来大家昨天在剪小树时都非常用心，不仅会剪还知道为什么这么剪，真棒！看看今天我们要挑战什么！（课件出示：课本主题图）

师：你知道了什么？

生：要剪出4个小人，而且要手拉手；每一个小人都是轴对称图形。

师：要剪出这样的4个小人好像有点难，你们打算怎么解决？

生：先剪2个小人试一试。

师：是啊，我们可以从2个小人研究起，由易到难。剪一个小人需把纸张对折一次，那剪两个小人你们觉得要对折几次？

生：两次！

师：用什么办法验证呢？

生：折折看。

师：请你们用纸张折一折，再打开纸张看一看、想一想，为什么？

（学生动手操作后，发现确实是对折两次）

师：能说说为什么吗？

生：剪一个小人，纸张对折一次，把纸张平均分成了两份。我把纸张对折两次，打开后发现纸张被平均分成了四份，四个半人合起来就是两个小人。

师：那如果对折三次，你们觉得可以剪出几个小人？

（学生有的说三个，有的说是四个）

师：如何验证？

生：再折折看。

师：好，开始吧！（用另外一张纸）

生：对折三次是剪出四个小人，因为纸张被平均分成了八份！

师：观察板书，你们有什么发现？

生：多对折一次，纸张平均分的份数就翻倍。剪出的人数也会翻倍。

（由于二年级未学习“倍”，故需教师的引导才能说出以上结论）

师：那么对折四次呢？

生：纸张平均分成16份，剪出8个小人！

【设计说明：根据对板书的观察，引导学生通过合情推理，体悟到对折几次与均分几份、得到几个小人三者之间的联系——即每增加对折一次，纸张均分的份数翻倍，能剪出的小人图案数也随之翻倍。引深思考对折四次、五次的情况。此时，学生已无需再动手验证，便能通过合情推理所得的结论得到答案。】

【“第三动”：暴露盲点，找到隐蔽的关键点】

师：现在请你们动手剪出手拉手的2个小人。

学生动手操作，教师巡视，收集正例和错例。

交流时，教师展示错例作品：

师：看，这件作品没有成功。为什么会失败呢？老师手上也有件成功的作品，我把它们都还原成剪之前的样子。（展示时连同剪下的纸张部分一起呈现“场景还原”的效果，见下图）：

师：仔细观察，你们发现了两种剪法的不同点在哪里？

生：失败的那个没有把小人的手画到纸张边缘，成功的那个有！

（教师打开两个作品“废纸”部分，让学生进行观察：没有把小人的手画在边缘处为什么会失败）

生：小人的手没有画到边缘，剪下后会断开。

师：看来我们要保证剪下来的2个小人是手拉手的，必须要？

生：把小人的手画到边缘！

师：请刚才没有剪成功的小朋友再尝试一下。

【设计说明：此次动手操作充分暴露学生的思维盲点，学生疑惑重重，再引导学生观察复原的两件作品，思考这两种剪法的不同点在哪里？学生很快就观察到：失败的作品没有将图案画至纸张边缘处。再打开两个作品“废纸”部分，让学生进行观察思考：为什么没有把图案画在边缘处会失败？学生通过讨论，明确了导致剪下来的2个小人没有“手拉手”的原因。随后，笔者又让尝试失败的学生再次动手，给他们以纠错、强化正确认知的机会。整个环节达到两个目的：（1）让学生充分暴露思维盲点，使学生产生强烈的认知需求。（2）利用错例资源促进学生反思错因，完善思维，引发学生逐步调整策略解决问题。】

【“第四动”：完整过程，获得成功体验】

师：现在我们来理一理思路，你们觉得怎样能保证成功地剪出4个手拉手的小人？

生：要对折三次；小人的图案要画在纸张的封口那侧；小人的手要画到纸张边缘。

师：你们思路很清晰，好，现在开始动手吧！

（学生进行操作，多数学生成功剪出作品，惊喜、兴奋的心情溢于言表）

师：祝贺大家都成功剪出了4个小人，仔细观察这4个小人，你还有什么发现？

生：是通过把1个小人平移得到4个小人的。

师：你们真厉害，平移的4个手拉手小人我们会剪了，想挑战一下下面的图吗？（出示旋转的手拉手的4个小人图）

（学生进行拓展尝试）

【设计说明：有了前面的三次动手操作，经过几次的解决问题策略调整，学生在头脑里已能清晰地对如何剪出手拉手的四个小人有明确的理解，突出了对几个关键点的认知——对折三次，图案要画在对称轴一侧，且要画至纸张边缘处。学生对此了然于心，空间观念搭建完善，此时，让学生进行第四次动手操作，增大了成功的几率。学生在数学课堂上获得了成功体验，达成了情感态度方面的教学目的。】

【教后思考】

《数学课程标准》（2011版）将“空间与图形”改为“图形与几何”，调整后的“图形与几何”以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开。修订后的人教版教材关于“图形与几何”领域在解决问题方面突破了以往解决问题的例题多安排在“数与计算”领域的局限，使得培养学生的“四能”的素材和案例更为丰富，这一类课型通过让学生利用图形和几何的知识解决相应的问题。如何在这类课型中处理好动手操作与有效思考两者之间的关系，达到建空间观念，促合情推理的目的呢？

一、在知识发生连接时进行动手操作

在新版教材里，很多“空间与几何”领域的“解决问题”课型都需要一些已知知识作为基础铺垫，如本案例中的“剪手拉手的四个小人”。学生会剪简单的轴对称图形，明白为什么这样可以剪出轴对称图形，这便是与新知的连接处。再如，一年级下册的《平面图形的拼组》，学生对“拼组”的动作理解以及对各平面图形的特征认知便是与新知的连接处，可以让学生先进行动手操作：用同样长的小棒拼出长方形。因此，需要教师通过解读教学重难点，了解新知与旧知的连接点，考虑在课前阶段让学生进行相应的动手操作任务，教师还应抓住新知与旧知的连接点，设置一些回顾反思性的问题，引导学生更好地回顾旧知，做好承前启后的思维蛰伏和心理准备，以促进新知的迁移。

二、在关键处的推理时进行动手操作

《课标》中对空间观念的要求是：由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状，进行几何体与三视图、展开图之间的转化。实际上，“图形与几何”问题解决过程中的关键处需要学生经历包括观察、想象、比较、猜测、推理、验证的过程。低年级学生的思维处于具体形象思维阶段，往往需要一定的具体直观形象作支撑，单纯的内隐思维活动可能会使他们处于停滞不前的状态，此时正需搭建起抽象性的数学知识和形象性的学生思维之间的“桥梁”——动手操作活动，使学生边“思”边“动”，以“动”促“悟”。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。此时的动手操作就是为了提供进行合理推理所需的“事实”，如本课例中以动手操作辅助学生探寻对折“几次”与均分“几份”的关系，经历“操作感知——形成表象——抽象概括”这一过程，使动手操作成为促进验证推理，有效建构空间几何表象的重要推手。

三、在思维盲区处进行动手操作

由于“空间与几何”知识领域的特殊性，一些关键点较为隐蔽，无法明显地发现。此时，教师的直接揭示无法给学生带来强烈的认知冲击，不动不明，学生永远停留在“要我学”的被动地位，没有认知需求，认知欲望不强，对知识的印记也无法深刻、具体、形象。如本案例中，教师若直接提醒画小人时要画至纸张的边缘处才能保证四个小人手拉手，学生无法透彻理解，“不愤不启，不悱不发”，此时的动手操作活动才能使学生产生强烈的认知冲突，激起主动的探究欲望。通过教师的引导，学生主动地通过自己的观察寻找问题的原因，找到解决问题的关键，并逐步调整策略。在不断的操作中领悟解决问题的方法，提高解决问题的能力，同时培养学生的发散思维与挑战意识。在这暴露学生思维的动手操作活动中，学生经历了“试误—究因—调整策略”的解决问题过程，在数学基本活动经验的积留中逐步建立了空间观念，得到鲜明、清晰、正确的概念。

四、在脉络清晰时进行动手操作

很多数学问题的解决，一下子由学生自主探索，难度较大，学生一次性成功的几率很小。在学习难点、问题解决的关键点未清晰之前，贸然进行动手操作活动，会出现许多的学习难题，而这些问题由于现实因素并无法一一在课堂上给予击破，这样势必造成课堂教学节奏拖沓、层次凌乱，教师手忙脚乱，学生高耗低能。在前文所述的恰当时机进行动手操作后，学生对知识的来龙去脉有了具体清晰的认识，空间观念得到初步的构建，问题解决的难点也得到了明朗，一切脉络清晰时便是最好的操作时机，此时操作水到渠成，学生有意识也有能力避开失误的礁区，能顺利地解决问题，获得成功的体验。

综上所述，在“图形与几何”领域的问题解决中，学生动手操作的时机确定、决定了其学习是否有效，思维能力是否得到提升。因此，教师在研读教材后，要站在学生认知的角度，思索、确定好学习难点、解决问题的关键点，对全课教学过程进行统筹规划、整体部署，找准“动”机，使学生的空间观念和合情推理能力在充分感知、操作体验、解决问题的策略调整、实践中逐步培养起来。