排列组合的一题多解

2016-05-13 05:12刘小朋陈雪宏
读与写·下旬刊 2016年4期
关键词:个位数排列组合三位数

刘小朋+陈雪宏

中图分类号:G633.6文献标识码:B文章编号:1672-1578(2016)04-0218-01

问题:有数字1,2,3,4可组成多少个恰有两个重复数字的不同的三位数?

这道排列组合的题一般有两种不同的思路:一是正向思维,二是逆向思维,所以也就决定了常规的解法只有两种。

解法一:把符合条件的三位数分成三类:个位数与十位数重复;个位数与百位数重复;十位数与百位数重复。每一步均要两步,第一步确定重复的数字,有4种不同的方法,第二歩确定另一个数字,有三种不同的方法,所以共有43+43+43=36(个)

解法二:由1、2、3、4组成的不同的三位数可分为三类:没有重复数字的三位数;恰有两个重复数字的三位数;三个数字都重复的三位数。第一类没有重复的数字有43=24,第二类三个数字都重复的三位数有4个,所以恰有两个数字重复的三位数共有64-24-4=36

解法三:先从4个数中选出两个数字共有种,再从选中的两个数中确定一个重复的数字有种,然后,这三个数字全排种,如被选的重复数字是a=b,不重复的是c,则它排成的三位数是:abc,acb,bac,bca,cba,cab.我们可以看到得到的这三位数刚好重复了2次。

所以,根据分布计数原理,可选数字共有两种,再从选中的两个数中确定一个重复的数字恰有两位重复的数字有:。我称这种方法叫做:实践归纳法

解法四:先从4个数中选出两个数,再从选中的两个数中选一个数有种,如被选的重复数字是a,不重复的是b,如图插空法b的填法就有三种不同的方法:

所以恰有两位重复数字的三位数有(个)

其实第四种方法还可以推广到有n个数字,其中有k(n>=k)个数字重复的情况,但是这种情况非常复杂,在高中研究是没有什么作用的。因此,在这里就不再深入了。

猜你喜欢
个位数排列组合三位数
活用数学模型,理解排列组合
摆三位数
史上最全的排列组合22种解题策略
积是三位数还是四位数
周期问题
摆三位数
三位数密码
mn个位数问题探究
三招“搞定”排列组合
高二数学能力月月赛(29)